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Nombres complexes ( Partie II) Cours Cours en vidéos

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Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

Déterminer l'ensemble des points `M(z)` tels que `arg(z-2)= (3pi)/2 [2pi]`


Solution

Résoudre dans `C` les équations suivantes :

1 `z^2 -10z +29 = 0 `

2 ` z^2 -3z +3 = 0 `

3 ` z^2 +2sqrt(5) +7 = 0 `

4 ` 3z^2 +2z +17 = 0 `

5 ` 4z^2 +9 = 0 `

6 `z^2 -(1+sqrt(2))z +sqrt(2)= 0 `

7 `z^3 -8 = 0 `


Solution

1 linéariser ` sin^4x `

2 Calculer la somme `S= sin^4((pi)/8) + sin^4((3pi)/8) + sin^4((5pi)/8) + sin^4((7pi)/8) `


Solution

Soit `theta ` un réel de l intervalle `]-pi , pi[`

1) Montrer que `sin^2theta -2(1+cos(theta)) = -4cos^4((theta)/2) `

2a) Résoudre dans `C` l'équation `(E) : z^2 -2sin(theta)z + 2(1+cos(theta)) = 0 `

b) Ecrire les solutions sous forme exponentielle


Solution

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(e_1) , vec(e_2))`

1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2 -2z+2= 0 `

2) On considère les points `A` , `B ` , `C` d'affixes respectives `a = -isqrt(3) ` , `b = 1-i ` et `c = 1+i `

a) Ecrire les nombres `a` , `b` , `c` sous forme trigonométriques

b) Soit `N` le symétrique du point `A` par rapport au point `B` vérifier que l'affixe du point `N` est ` z_n = 2 +i(sqrt(3) -2) `

c) Soit `r ` la rotation de centre `O` et d'angle `(pi)/2 `

Déterminer les affixes des points `E` et `F` images respéctives des points `A` et `N` par la rotation `r `

3) On considère la translation `T` de vecteur `vec(u)(2i) `

Déterminer les affixes des points `J` et `K` images respectives de `A` et `N` par la translation `T`

4a) Vérifier que le point `C` est le milieu des segments `[EF]` et `[Jk]`

b) Montrer que `(z_F -z_C)/(z_K -z_C)= i `

c) Montrer que `EJFK` est un carré


Solution

On considère le nombre complexe `a = 2 +sqrt(2) + isqrt(2) `

1) Calculer le module de `a`

2) Montrer que ` a= 2(1+cos((pi)/4)) +2i sin((pi)/4)`

3) a) en linéarisant `cos^2x ` avec ` x in R ` montrer que ` 1+cos(2x)= 2cos^2x `

b) Montrer que `a = 4cos^2((pi)/8) + 4 i sin((pi)/8)cos((pi)/8)`

c) Montrer que ` 4cos((pi)/8) (cos((pi)/8)+i sin((pi)/8)) ` est une forme trigonométrique de `a`

d) Montrer que `a^4 = (2sqrt(2+sqrt(2)))^4i `

Partie II)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère les points `Omega` et `A` d'affixes respectives `omega= sqrt(2)` et `a = 2+sqrt(2) + isqrt(2) `

Soit `r` la rotation de centre `Omega` et d'angle `(pi)/2 `

1) Montrer que l'affixe `b` de `B` image du point `A` par `R` est `b =2i `

2) Déterminer l'ensemble des points `M` d'affixe `z` tels que `abs(z-2i)= 2 `


Solution

Session normale 2008


1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-6z+34= 0 `

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))` On considère les points `A, B , C ` d'affixes respectives

`a = 3+5i ` , `b = 3-5i ` et `c = 7+3i `

Soit `z` l'affixe du point `M` du plan et ` z' ` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la translation `T` du vecteur `vec(u)(4-2i)`

a) Montrer que `z' = z+4-2i` puis vérifier que `C` est l image du point `A` par la translation `T`

b) Montrer que `(b-c)/(a-c)= 2i `

c) En déduire que `ABC` est un triangle rectangle et que `BC = 2AC `


Solution

Session de rattrapage 2010


1) Résoudre dans `C` : ` z^2 -8sqrt(3)z +64 = 0 `

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))`

On considère les points `A, B , C` d'affixes respectives ` a= 8i ` , ` b = 4sqrt(3) -4i ` et `c= 2(4sqrt(3) +4i) `

Soit `z` l'affixe d'un point `M` du plan et `z'` l'affixe du point `M' ` image du point `M` par la rotation `R` de centre `O` et d'angle `(4pi)/3 `

a) Montrer que ` z' = (-1/2 -(sqrt(3))/2i ) z `

b) Vérifier que le point `B` est l image du point `A` par la rotation `R`

c) Montrer que `(a-b)/(c-b)= 1/2+ (sqrt(3))/2i ` puis écrire le nombre `(a-b)/(c-b)` sous forme trigonométrique

d) En déduire que le triangle `ABC` est équilatéral


Solution

Session normale 2011


1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-18z+82=0`

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère le points `A, B , C ` d'affixes respectives `a= 9+i` , `b =9 -i ` et `c= 11-i `

1a) Montrer que `(c-b)/(a-b)= -i `

b) En déduire que le triangle `ABC` est rectangle isocèle en `B`

2) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `4(1-i)`

3) Montrer que `(c-a)(c-b)= 4(1-i)` et en déduire que `AC xxBC = sqrt(2) `

4)Soit `z` l'affixe du point `M` du plan et `z'` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la rotation `R` de centre `B` et d'angle `(3pi)/2 `

a) Montrer que `z' = -iz+10+8i `

b) Vérifier que l'affixe du `C'` image du `C` par `R` est `c'=9-3i`


Solution

Session normale 2013


Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2)) ` on considère les points `A, B , C ` d'affixes respectives `a= 7+2i ` , `b = 4+8i ` , `c = -2+5i `

1a) Vérifier que `(1+i)(-3+6i)= -9 +3i ` , puis montrer que `(c-a)/(b-a)= 1+i `

b) En déduire que ` AC = ABsqrt(2) ` et donner une mesure de l'angle `(bar(vec(AB) , vec(AC) ))`

2) Soit `R` la rotation de centre `B` et d'angle `(pi)/2 `

a) Montrer que l'affixe du point `D` image du point `A` par la rotation `R` est `d = 10 +11i `

b) Calculer `(d-c)/(b-c) ` et en déduire que `B , C, D` sont alignés


Solution

Session normale 2014

1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-sqrt(2)z + 2= 0 `

2) On considère le nombre complexe ` u = (sqrt(2))/2 + i (sqrt(6))/2 `

a) Montre que le module de `u` est ` sqrt(2) ` et que `arg(u)= (pi)/3[2pi] `

b) En utilisant l'écriture de `u` sous forme trigonométrique , montrer que `u^6` est un réel

3) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2)) `

On considère les points `A, B ` d'affixes respectives `a = 4-4isqrt(3)` et ` b = 8 `

Soit `z` l'affixe du point `M` du plan et `z'` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la rotation `R` de centre `O` et d'angle `(pi)/3`

a) Exprimer `z'` en fonction de `z`

b) Vérifier que `B` est l image de `A` par la rotation `R` et en déduire que le triangle `OAB` est équilatéral


Solution

Session de rattrapage 2015


1a) Résoudre dans `C` l'équation `z^2 -8z+32 = 0 `

b) On considère le nombre complexe `a= 4+4i ` , ecrire le nombre complexe `a` sous sa forme trigonométrique puis en déduire que `a^(12)` est un nombre négatif

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère les points `A, B , C ` d'affixes respectives `a= 4+4i , b = 2+3i ` et `c = 3+4i `

Soit `z` l'affixe du point `M` et `z'` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la rotation `R` de centre `C` et d'angle `(pi)/2 `

a) Montrer que `z' = iz +7+i `

b) Vérifier que l'affixe du point `D` image du point `A` par la rotation `R ` est `d = 3+5i `

c) Montrer que l'ensemble des points `M(z)` tels que ` abs(z-3-5i)= abs(z-4-4i) ` est la droite `(BC)`


Solution

Session Normale 2016

1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-4z +29= 0 `

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))` On considère les points `Omega , A , B ` d'affixes respectives `omega= 2+5i ` , `a= 5+2i ` , ` b = 5 +8i `

Soit `u` le nombre complexe : ` u = b-omega `

a) Vérifier que ` u = 3+3i ` puis montrer que `arg(u) = (pi)/4 [2pi]`

b) Déterminer un argument du nombre `bar(u) `

c) Vérifier que ` a- omega = bar(u) ` puis en déduire que :

` OmegaA= OmegaB ` et ` arg((b-omega)/(a-omega)) = (pi)/2 [2pi]`

d) On considère la rotation `R` de centre `Omega` et d'angle `(pi)/2 ` Déterminer l image de ` A ` par `R`


Solution

Session de rattrapage 2017


1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2+4z+8 = 0 `

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` on considère les points `A , B , C ` d'affixes respectives :

`a = -2+2i ` , `b = 4-4i ` et ` c = 4+8i `

Soit `z` l'affixe du point `M` du plan et `z'` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la rotation `R` de centre `A` et d'angle `(-pi)/2 `

a) Montrer que `z'= -iz -4 `

b) Vérifier que le point `B` est l image de `C` par la rotation `R` puis en déduire la nature du triangle `ABC`

3) Soit `omega` l'affixe du point `Omega` milieu du segment `[BC]`

a) Montrer que `abs(c-omega)= 6 `

b) Montrer que l'ensemble des points `M` d'affixe `z` tel que `abs(z-omega)=6` est le cercle circonscrit au triangle `ABC`


Solution

Session normale 2017


On considère les nombres complexes `a` et `b` tels que `a= sqrt(3) +i ` et ` b = sqrt(3) -1 + (sqrt(3)+1)i `

1a) Vérifier que ` b =(1+i)a `

b) En déduire que `abs(b)=2sqrt(2)` et `arg(b)= (5pi)/(12)[2pi]`

c) Déduire de ce qui précède que ` cos((5pi)/(12)) = (sqrt(5) -sqrt(2))/4 `

2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))`

On considère les points `A` et `B` d'affixes respectives `a` et `b` et le point `C` d'affixe `c` telle que ` c = -1+isqrt(3)`

a) Vérifier que ` c= ia ` et on déduire que `OA = OC text{ et } (bar( vec(OA) , vec(OC))) = (pi)/2[2pi]`

b) Montrer que le point `B` est l image du point `A` par la translation de vecteur `vec(OC)`

c) En déduire que le quadrilatère `OABC` est un carré


Solution

Session Normale 2018


le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `( O,vec(u) ,vec(v))`

1) Résoudre dans `C` l équation `2z^2+2z+5= 0 `

2) On considère la rotation de centre `O` et d'angle `{2pi}/3`

a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `d= -1/2+ {sqrt(3)}/2i `

b) soit `A` le point d'affixe `a= -1/2+3/2i ` et `B` l image de `A` par la rotation `R` , soit `b` l'affixe de `B`.

Montrer que `b=da`

c) Soit `t` la translation de vecteur `vec(OA)` , et `C` le point d'affixe `c` , image de `B` par la translation `t`

vérifier que `c=b+a` et que `c=a(1/2+{sqrt(3)}/2i)`

d) Déterminer `arg(c/a)` , puis montrer que le triangle `OAC` est équilatéral


Solution

Session de rattrapage 2019


1) a) Résoudre dans `C` l equation `z^2-3z+3= 0 `

b) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `a= 3/2+ {sqrt(3)}/2i `

2) On considère le nombre complexe `b ={sqrt(2)}/2(1+i)` , vérifier que `b^2= i `

3) On pose `h = cos({pi}/{12}) +isin({pi}/{12}) `

montrer que `h^4+1= a `

4) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct `(O,vec(u),vec(v))` on considère le point `B` d'affixe `b` et la rotation `R` de centre `O` et d'angle `{pi}/2`

soit `C` le point d'affixe `c` image de `B` par la rotation `R`

a) Montrer que `c= ib `

b) En déduire la nature du triangle `OBC`


Solution

Session normale 2019

1) Résoudre dans `C` l’équation `z^2-2z+4= 0`

2) dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé `(o, vec(u),vec(v))` on considère les points `A,B,C,D `des affixes respectives `a=1-sqrt(3)i` , `b=2+2i ` , `c=sqrt(3)+i` et `d=-2+2sqrt(3)`

1) a) Vérifier que `a-d=-sqrt(3)(c-d)`

b) En déduire que les points `A,C,D` sont alignés

2) soit `M(z)` et `M'(z')` image de `M` par la rotation de centre `O` et d'angle `-{pi}/3`

a) Vérifier que `z'=1/2az`

3) soit `H(h)` l image de `B` par la rotation `R` et `P(p)` tel que `p=a-c`

a) vérifier que `h=ip`

b) Montrer que le triangle `OHP` est isocèle et rectangle en `O`


Solution

Exercice 2) : Session normale 2020

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère l'équation `E : z^2 -2(sqrt(2)+sqrt(6))z+ 16 = 0 `

1) a) Vérifier que `Delta = -4(sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

b) En déduire les solutions de l'équation `E`

2) On considère les nombres complexes : ` a= (sqrt(6)+sqrt(2)) + i( sqrt(6) -sqrt(2))` , ` b=1+isqrt(3)` , ` c= sqrt(2) +isqrt(2)`

a) Vérifier que `b*bar(c)= a ` , puis en déduire que `ac=4b`

b) Donner la forme trigonométrique des nombres ` b` et `c `

c) En déduire que ` a= 4( cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12}))`

3) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u),vec(v))` on considère les points ` B,C,D ` des affixes respectives ` b , c , d` avec ` d= a^4`

Soit `M(z)` un point du plan complexe et `M'(z') ` l'mage de `M(z)` par la rotation `R` du centre `O` et d'angle `{pi}/{12}`

a) Vérifier que `z'= 1/4az`

b) Déterminer l'image de `C` par la rotation `R`

c) Déterminer la nature du triangle `OBC`

d) Montrer que `a^4= 128b` , puis en déduire que les points `O,B, D ` sont alignés


Solution

Exercice 2 BAC 2022

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u) , vec(v))` on considère le point `A ` d'affixe `a=-1-isqrt(3) ` et `B` le point d'affixe ` b = -1 +isqrt(3) ` et `t` la translation de vecteur `vec(OA)`

1) Prouver que l'affixe du point `D` image du point `B ` par la translation `t ` est `d= -2 `

2) On considère la rotation `R ` de centre `D` et d'angle `(2pi)/3 `

Montrer que l'affixe du point `C ` image du point `B` par la rotation `R ` est `c= -4 `

3a) Ecrire le nombre complexe `(b-c)/(a-c) ` sous sa forme trigonométrique

b) En déduire que `((b-c)/(a-c))^2 = (c-d)/(b-d)`

4) Soit `Gamma ` le cercle de centre `(D) ` et de rayon `R=2` , `Gamma'` le cercle de centre `O` et de rayon `R= 4` et `M(z)` un point d'affixe `z` appartenant aux deux cercles `Gamma ` et `Gamma' `

a) Vérifier que `abs(z+2)=2`

b) Prouver que `z+bar(z)= -8` remarque que `abs(z)= 4`

c) En déduire que les de eux cercles `Gamma ` et `Gamma' ` se coupent en un unique point à déterminer


Solution
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