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Produit vectoriel dans l espace Cours Cours en vidéos

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Dans l'espace , On considère les points suivants ` A(1, 2, 3) ` , `B(3, 0 , -3) ` , `C(5, 2, 6) `

1) Déterminer les coordonnées de ` vec(AB)` `vec(AC)`

2) Calculer la hauteur du triangle `(ABC)` issue de `B`

3) Détermine une équation cartésienne de `(ABC)`

4) Calculer la distance du point `O` à la droite `(AB) `


Solution

Dans l espace on considère les points suivants : `A(1, 0, 0) ` , ` B(0,1,0) ` , `C(0,0,1) `

1) Déterminer une équation cartésienne de `(ABC) `

2a) Donner une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` passant par `O` et perpendiculaire au plan `(ABC)`

b) Déterminer le triplet de coordonnées du point `H` intersection du plan `(ABC)` et la droite `(Delta)`

3) Soit `(E)` l 'ensemble des points M de l'espace tels que ` vec(AM) ` `vec(BM) = (sqrt(3) -1) (vec(i)+vec(j)) -vec(k) `

a) Montrer que le point `Omega( 1, 1, sqrt(3) -1) ` appartient à l'ensemble `(E) `

b) Montrer que l'ensemble `(E)` est la droite passant par `Omega` et dirigée par le vecteur `vec(AB) `

4) Soit `(S)` la sphère de centre `Omega` et de rayon ` R = 1 `

a) Montrer que les plans `(ABC)` , `(OAC)` , `(OBC)` sont tangents à la sphère `(S) `

b) Déterminer l intersection de `(S)` et le plan `(ABC) `


Solution

On considère dans l'espace les points suivants ` A( 1, 0, 1) ` , ` B( 2, -1 , 1) ` , `C(2, 3, 0) `

1)a) Montrer que ` vec(AB) ` `vec(AC) = vec(i) + vec(j) +4vec(k) `

b) En déduire que les points `A, B , C ` ne sont pas alignés

c)Etablir q'une équation cartésienne du plan `(ABC)` est ` x+y +4z -5 = 0 `

2) On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne `x^2+y^2+z^2-2z -1 = 0 `

Montrer que le centre de `(S)` est `Omega(0,0,1)` et son rayon `R =sqrt(2) `

3a) Donner une représentation paramétrique de la droite `(D)` passant par `Omega` et perpendiculaire au plan `(ABC) `

b) Déterminer le triplet des coordonnées du point `H` intersection du plan `(ABC)` et la droite `(D) `

c) Montrer que le plan `(P)` coupe la sphère selon un cercle dont on déterminera le rayon


Solution

On considère dans l'espace les points suivants `A(3,2,6)` , `B(1,2,4)` , `C(4, -2, 5) `

1a) Montrer que ` vec(AB)` `vec(AC)= -8vec(i) -4vec(j) +8vec(k) `

b) En déduire que ` x+1/2y -z +2= 0 ` est une équation cartésienne du plan `(ABC)`

2) Soit `H` le projeté orthogonal de `O` sur `(ABC)`

Montrer que `OH = 4/3` puis déterminer le triplet de coordonnées du point `H`

3) Soit `(S)` la sphère de centre `O` et passant par `A`

a) Déterminer le rayon `R` de la sphère `(S)`

b) Montrer que le plan `(ABC)` coupe `(S)` selon un cercle `(Gamma)` dont on précisera le centre et le rayon


Solution

On considère les points `A(3,2,4)` , `B(0,3,5)` , `C(0,2,1)` , `D(3, 1, 0) `

1a) Montrer que `vec(AB)` ` vec(AC) = -3vec(i) -12vec(j) +3vec(k) `

b) En déduire que les points ` A, B , C ` ne sont pas alignés

c) Montrer que ` ABCD` est un parallélogramme puis calculer son aire

2) Soit `(S)` l 'ensemble des points de l'espace tels que `x^2 +y^2 +z^2 -4x +4y -10z + 15= 0`

a) Montrer que `(S)` est une sphère dont on déterminera le centre `Omega` et le rayon `R`

b) Montrer que ` vec(AOmega)= 1/3 ( vec(AB) ` ` vec(AC)) `

c) Montrer que le plan `(ABC)` est tangent à la sphère `(S)` au point ` A `


Solution

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i) , vec(j), vec(k))` On considère les points `A(1,1,0)` , `B(0,2,0) ` , `C(0,0,3) `

1a) Déterminer les coordonnées de ` vec(AB)` ` vec(AC) `

b) Calculer l 'aire du triangle `(ABC) `

c) Calculer la distance du point `B` à la droite `(AC) `

d) Déterminer une équation cartésienne de `(ABC) `

2) Soit `(D)` la droite passant par `C` et dirigée par le vecteur ` vec(u)(1, 1, -3) `

Montrer que `(D) ` est orthogonale à la droite `(AB) `

3) Soit `(P)` le plan d'équation cartésienne `2x+ y -2z +1= 0 ` et `(S_m)` la sphère d'équation cartésienne

`(S_m) : x^2 +y^2 +z^2 -x -2y +5/4 - m = 0 ` ou ` m in ]0, +infty[`

a) Déterminer en fonction de `m` , le centre `Omega` et le rayon `R_m` de la sphère `(S_m)`

b) Déterminer la valeur de `m` pour laquelle le plan `(P)` est tangent à la sphère `(S_m)` puis déterminer les coordonnées du point de contact


Solution

On considère les points `A( 1, 7, -2) ` , `B(1, 3, -4) ` , le vecteur ` vec(u)(1,2,2) `

la droite `(D) ` passant par `B` et dirigée par le vecteur ` vec(u) `

1) Déterminer les coordonnées du vecteur ` vec(AB)` `vec(u) `

2) Soit le point `Omega( 6, 7, -6) ` et le plan `(P)` d'équation cartésienne `(P) : 2x+y -2z -13 = 0 `

a) Montrer que ` d(Omega, (P))= 6 `

b) Ecrire l'équation cartésienne de la sphère `(S)` de centre `Omega` et tangente au plan `(P)`

3a) Ecrire une équation cartésienne du plan `(Q)` passant par `Omega` et de vecteur normal ` vec(u) `

b) Déterminer l intersection du plan `(Q)` et la sphère `(S) `

4) Etudier l intersection de `(S)` et `(P) `


Solution

Soit `vec(u) , vec(v)` deux vecteurs non colinéaires et

Déterminer les vecteurs suivants en fonction de `vec{w}`

1)

2)

3)


Solution

Soit `O, A, B, C , D ` des points de l'espace orienté

1) Montrer que

2) Montrer que


Solution

Soit `vec(u) ,vec(v)` deux vecteurs de l espace tels que `abs(abs(vec(u))) = 3 `, `abs(abs(vec(v))) = 4 ` et `vec(u)*vec(v)= 0 `

Calculer et


Solution

Soit `vec(u) , vec(v)` deux vecteurs de l espace

1) Calculer

2) Calculer


Solution

Soit `A, B, C ` trois points de l'espace orienté on suppose que `B ne I ` ou `I` le milieu de `[AC]`

Déterminer l'ensemble `(Delta)` des points `M` de l'espace tels que


Solution

Soit `ABC` un triangle

1) Montrer que

2) En déduire que `(BC)/{ sin hat(A)} = (AC)/{sin hat(B)} = (AB)/{sin hat(C)}`


Solution

Session de rattrapage 2022


l'espace est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k)) `

On considère les points ` A (1, -1, 1) ` , `B(5, 1, -3)`

`(S) ` la sphère de centre `Omega(3,0,-1)` et de rayon `R =3`

`(Delta)` la droite passant par `A` de vecteur directeur `vec(u)(2, -2, 1) `

1) a) Calculer la distance `OmegaA`

b) Montrer que `(Omega A) bot (Delta)`

c) En déduire la position relative de la droite `(Delta) ` et la sphère `(S) `

2) Soit ` a in R ` et `M_a(2a-3 , 3-2a , a-1)`

Montrer que `vec(AM_a) = (a-2)vec(u) ` , puis en déduire que ` forall a in R : M_a in (Delta) `

3) a) Vérifier que `2x-2y +z - 9a+13= 0 ` est une équation cartésienne du plan `(P_a) ` passant par `M_a` et perpendiculaire à la droite `(Delta)`

b) Vérifier que `d( Omega, P_a) = abs(3a-6) `

c) Déterminer les valeurs de `a` pour lesquelles `(P_a)` est tangent à la sphère `(S) `


Solution

Exercice 1 BAC 2022


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O ,vec(i) , vec(j) ,vec(k))` on considère les points `A(0,1,1) ` , `B(1,2,0) ` , `C(-1,1,2)`

1)a) Montrer que

b) En déduire que `x+z-1 = 0` est une équation cartésienne du plan `(ABC) `

2) Soit `S` la sphère de centre `Omega(1,1,2) ` et de rayon `R = sqrt(2) `

Déterminer une équation cartésienne de la sphère `S`

3) Montrer que le plan `(ABC)` est tangent à la sphère `S ` au point `A`

4) On considère la droite `(Delta) ` passant par `C` et perpendiculaire au plan `(ABC) `

a) Déterminer une représentation paramétrique de `(Delta) `

b) Montrer que la droite `(Delta) ` est tangente à la sphère `(S) ` en un point `(D) ` dont on déterminera les coordonnées

c) Calculer le produit scalaire `vec(AC).( vec(i) +vec(k)) ` , puis en déduire la distance `d(A, (Delta)) `


Solution
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