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12
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1
un dé cubique truqué est tel que la probabilité
p
k
de sortie du numéro
k
est proportionnelle à
k
On lance ce dé et on considère les événements
A
:
le numéro est pair
B
:
le numéro est supérieur ou égal à trois
Calculer
p
k
pour chaque
k
∈
{
1
,
2
,
3
...
.6
}
puis en déduire les probabilités
P
(
A
)
et
P
(
B
)
2
On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite
1
Citer la liste de tous les résultats possibles en notant
P
pour pile
F
pour face
2
Donner la probabilité de chacun des événements suivants
A
:
le tirage ne comporte que des piles
B
:
le tirage comporte au moins une fois face
3
Soit
Ω
un univers et
p
une probabilité définie sur
Ω
on considère deux événements
A
et
B
tels que
p
(
A
)
=
1
2
,
p
(
B
)
=
5
12
,
p
(
A
∪
B
)
=
3
4
Calculer
p
(
ˉ
A
)
,
p
(
A
∩
B
)
,
p
(
ˉ
A
∩
ˉ
B
)
;
p
(
A
∩
ˉ
B
)
,
p
(
A
∪
ˉ
B
)
4
Un fabricant achète un produit
P
1
de trois fournisseurs
A
,
B
,
C
-
60
%
du produit
P
1
proviennent du fournisseur
A
-
35
%
du produit
P
1
proviennent du fournisseur
B
-
5
%
du produit
P
1
proviennent du fournisseur
C
- fournisseur
A
donne
1
%
du produit non conforme
- fournisseur
B
donne
2
%
du produit non conforme
- fournisseur
C
donne
5
%
du produit non conforme
a) Représenter cette expérience aléatoire par un arbre pondéré
b) Quelle est la probabilité que le produit
P
1
soit non conforme
5
Deux urnes contiennent des boules bleues et rouges
- l'urne
u
1
contient
4
boules bleues et
1
rouge
- l'urne
u
2
contient
2
boules bleues et
3
rouges
On procède au choix au hasard d'une urne parmi
u
1
,
u
2
, puis on tire une boule au hasard dans l'urne
1) Déterminer la probabilité de tire une boule rouge sachant que l'urne
u
1
a été choisi , puis la probabilité de tire une boule rouge sachant que
u
2
a été choisi
2) Modéliser l'expérience aléatoire décrite à l'aide d'un arbre pondéré
3) Calculer la probabilité de tirer une boule rouge
6
On dispose de deux urnes :
-
U
1
contient 4 jetons blancs et 3 noirs
-
U
2
contient 17 jetons blancs et 18 noirs.
1. On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d'apparaître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l'urne U1 sinon on tire un jeton de l'urne U2 .
a. Déterminer la probabilité de tirer un jeton blanc (on considérera les événements A : "On a obtenu 6 en
jetant le dé" et B : "On obtient un jeton blanc".)
b. On a tiré un jeton blanc ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de U1.
c. On a tiré un jeton noir ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de U2.
2. On tire successivement et sans remise les 7 jetons de l'urne U1.
X est la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage.
Donner la loi de probabilité de X, puis calculer son espérance mathématique et son écart-type.
7
on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de
1
à
6
on suppose que :
P
(
{
2
}
)
=
1
3
P
(
{
3
}
)
P
(
{
4
}
)
=
2
P
(
{
1
}
)
=
1
3
P
(
{
3
}
)
P
(
{
6
}
)
=
2
P
(
{
1
}
)
=
1
4
p
(
{
5
}
)
1) Calculer
P
(
{
k
}
)
pour tout
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2) En déduire la probabilité de chacun des événements suivants :
A
:
Obtenir un nombre pair
B
:
Obtenir un nombre impair
C
:
obtenir un nombre supérieur ou égal à 3
8
Dans une classe il y a :
-
50
%
pratiquent la nation
-
55
%
pratiquent le football
-
22
,
5
%
pratique les deux sports
Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard :
1
Pratique la natation mais pas le football
2
Pratique le football mais pas la natation
3
Ne pratique aucun sport
9
Dans un stand de tir , un tireur tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles .
la probabilité que la première cible soit atteint est
0
,
5
lorsqu' une cible est atteinte , la probabilité que la suivante le soit est
0
,
75
lorsqu'une cible n'est pas atteinte la probabilité que la suivante le soit est
0
,
5
On note pour tout
n
∈
N
∗
:
A
n
l'événement la n^(ième) cible atteinte
a
n
=
P
(
A
n
)
et
b
n
=
P
(
¯
A
n
)
1) a) Donner les valeurs de
a
1
et
b
1
b) Calculer
a
2
et
b
2
2a) Montrer que
∀
n
∈
N
∗
:
a
n
+
1
=
3
4
a
n
+
1
2
b
n
et
a
n
+
1
=
1
4
a
n
+
1
2
b) En déduire par récurrence que
∀
n
∈
N
∗
:
a
n
=
2
3
-
1
6
(
1
4
)
n
-
1
c) Déterminer
lim
n
→
+
∞
a
n
d) Déterminer le plus petit entier naturel
n
tel que
a
n
≥
0
,
666
10
Exercice 3 : BAC -2022
Une urne contient
10
boules :
-
3
boules blanches
-
3
boules vertes
-
4
boules rouges
On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne
1) Montrer que
P
(
A
)
=
1
6
; ou
A
:
est l'événement n'obtenir aucun boule rouge
2) Calculer
P
(
B
)
:
ou
B
:
est l'événement obtenir 3 boules blanches ou 3 boules vertes
3) Montrer que
P
(
C
)
=
1
2
; ou
C
:
est l'événement obtenir exactement une boule rouge
4) Calculer
P
(
D
)
:
ou
D
:
est l'événement obtenir au moins 2 deux boules rouges
11
Exercice 3 : BAC -2022
Une urne contient
10
boules :
-
3
boules blanches
-
3
boules vertes
-
4
boules rouges
On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne
1) Montrer que
P
(
A
)
=
1
6
; ou
A
:
est l'événement n'obtenir aucun boule rouge
2) Calculer
P
(
B
)
:
ou
B
:
est l'événement obtenir 3 boules blanches ou 3 boules vertes
3) Montrer que
P
(
C
)
=
1
2
; ou
C
:
est l'événement obtenir exactement une boule rouge
4) Calculer
P
(
D
)
:
ou
D
:
est l'événement obtenir au moins 2 deux boules rouges
12
On dispose de deux urnes :
-
u
1
contient
7
boules noires et
3
boules vertes
-
u
2
contient
2
boules noires et
8
boules vertes
On effectue une suite de tirage en remettant à chaque fois la boule tirée dans l'urne suivant la règle suivante :
si au
(
n
-
1
)
i
è
m
e
tirage on a obtenu une boule noire alors le
n
i
è
m
e
tirage s'effectue dans
u
1
si au
(
n
-
1
)
i
è
m
e
tirage on a obtenu une boule verte alors le
n
i
è
m
e
tirage s'effectue dans
u
2
1
On choisit une urne au hasard et on fait le premier tirage .
Déterminer la probabilité
p
1
d'obtenir une boule noire
2
On désigne par
p
n
la probabilité de tirer une boule noire au
n
i
è
m
e
tirage
a) Calculer
p
2
b) Montrer que
∀
n
≥
2
:
p
n
=
1
2
p
n
-
1
+
1
5
3
a) Montrer que la suite
(
q
n
)
définie par
q
n
=
p
n
-
2
5
;
n
≥
1
est une suite géométrique
b) Déterminer
p
n
en fonction de
n
puis calculer
lim
n
→
+
∞
p
n
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