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Soit `a` et `b` deux réels tels que `(a,b) ne (0,0) `

Pour tout `x in R ` on pose `A(x)= acosx + bsinx `

1 Vérifier que `A(x)= sqrt(a^2 +b^2) ( a/(sqrt(a^2+b^2)) cosx +b/(sqrt(a^2+b^2))sinx)`

2 a) Montrer qu'il existe un nombre réel `alpha` tel que `cosalpha = a/(sqrt(a^2+b^2))` et `sinalpha = b/(sqrt(a^2+b^2))`

b) En déduire que `A(x)=sqrt(a^2+b^2)cos(x-alpha)`

3) Transformer les expressions suivantes

` ast : A_1(x)= cosx -sinx `

` ast : A_2(x)= sqrt(3)cosx +sinx `

` ast : A_3(x)= cosx -sqrt(3)sinx `


Solution

Ecrire sous forme de somme les produits suivants

1 `A(x)= cosxcos(5x) `

2 `B(x)= sin(3x)sin(4x) `

3 `C(x)= cos(x-(pi)/3) sin(2x+(pi)/4) `


Solution

Soit `a` et `b` deux réels montrer que

1 `cosacosb = 1/2[ cos(a-b) +cos(a+b)]`

2 `sinasinb = 1/2[ cos(a-b) -cos(a+b)]`

3 `sinacosb = 1/2[ sin(a+b) +sin(a-b)]`

4 `cosasinb = 1/2[ sin(a+b) -sin(a-b)]`

5 on pose `p =a+b ` et `q= a-b `

a) Vérifier que `a = (p+q)/2 ` et ` b = (p-q)/2 `

b) En déduire les égalités suivantes :

`cosp +cosq= 2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)`

`cosp -cosq= -2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)`

`sinp +sinq= 2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)`

`sinp -sinq= 2sin((p-q)/2)cos((p+q)/2)`

6 Montrer que `cosx -cos(3x)= 4sin^2xcosx`


Solution

Soit `x in R ` tel que `x ne kpi ` pour tout ` k in Z `

Montrer que :

1 `(1-cosx)/(sinx) = tan(x/2) `

2 `(sinx) =(1+cosx)tan(x/2) `


Solution

Soit `x in R ` tel que `sinx ne -1 `

Montrer que `(1-sinx)/(1+sinx) =tan^2((pi)/4 -x/2) `


Solution

Soit `x in R ` établir les égalités suivantes

1 `1+sinx = (cos(x/2) +sin(x/2))^2 `

2 `1+cosx +2sin^2(x/2)= 2 `

3 ` 2sinx +sin(2x)= 8sin(x/2)cos^3(x/2) `

4 ` 1-cosx +sinx = 2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))`

5 `1+cosx-sinx = 2sqrt(2)cos(x/2)cos(x/2+(pi)/4)`


Solution

1 En remarquant que `(5pi)/(12)= (2pi)/(3) -(pi)/4 ` calculer ` tan((5pi)/(12))`

2 soit `x in R ` tel que `x ne (pi)/2 +kpi ` et `x ne -(pi)/4 +kpi ` et ` x ne (pi)/4+ kpi `

Simplifier `tan((pi)/4 -x)tan((pi)/4+x) `


Solution

1 sachant que `(5pi)/(12) = (2pi)/3 -(pi)/4 ` calculer ` cos((5pi)/(12))` et `sin((5pi)/(12))`

2 Calculer ` cos((11pi)/(12))` et `sin((11pi)/(12))`

3 Soit `x in R ` établir les égalités suivantes

` ast : cosx -sqrt(3)sinx = 2sin((pi)/6 -x) `

` ast : cosx +sinx = sqrt(2)cos(x-(pi)/4) `

`ast: sqrt(3)cosx + sinx = 2sin(x+(pi)/3) `

`ast : -sqrt(6)cosx -sqrt(2)sinx = 2sqrt(2)cos(x+(5pi)/6)`


Solution

On considère la fonction numérique définie par `f(x)= sqrt(3x-2)((2x+1)/(x-1))^3`

1) Déterminer `D_f` le domaine de définition de la fonction `f`

2) Déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction `f` puis définir la fonction dérivée `f'`


Solution

Soit `f` la fonction numérique définie sur l intervalle `]-pi,pi[` par

`f(x)= (2(cosx-1))/(sinx) ; 0 < x < pi `

`f(x)= (xabs(x+1))/(x-1) ; -pi < x <= 0 `

1 a) Montrer que `f` est dérivable au point ` a= 0 ` en déterminant le nombre dérivé `f'(0)`

b) Déterminer l'équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point d'abscisse `0 `

2 a) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` au point `-1`

b) Déterminer les équations des demi-tangentes à la courbe `C_f` au point d'abscisse `-1`


Solution

1) ` lim_{ x to +infty} (cosx)/(x^2+1) `

2) ` lim_{ x to +infty} ( x+sinx)/(x^2+cosx) `

3) ` lim_{ x to +infty} (2x+cosx)/(3x+sinx) `

4) ` lim_{ x to +infty} (2-cosx)/(1+sqrt(x)) `

5) ` lim_{ x to -infty} (sinx)/(x^2+1) `

6) ` lim_{ x to -infty} (x^3)/(2-cosx) `

7) ` lim_{ x to +infty} (x+cosx)/(3-cosx) `

8) ` lim_{ x to +infty} (E(sqrt(x)))/x `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to -2 } (x^2 -7x -1) `

2 `lim_{ x to -1} (x^(2018) -x^(2017) +2) `

3 `lim_{ x to -sqrt(3)} (x^3 -5x^2 +x+1) `

4 `lim_{ x to 3} (2x^2 -3x -9)/(x-1) `

5 `lim_{ x to 3/2} (x^2+x)/(2x-1) `

6 `lim_{ x to -2} (x^3 -6x^2 +5x+4)/(x^2+4x+3) `

7 `lim_{ x to 3} (x-2)^3(1-x^3) `

8 ` lim_{ x to 2} ((2x-1)(x^2-5x+3))/((5x^2-6)(1-x+x^2)) `

9 `lim_{ x to (pi)/4 ] sinx `

10 ` lim_{ x to (pi)/4} tanx `


Solution

On considère la fonction ` f` définie sur `R^(ast) ` par ` f(x)= (sqrt(1+x^2) -1)/x `

1 Montrer que ` forall x in R^(ast) : abs(f(x))<= abs(x) `

2 En déduire `lim_{ x to 0} f(x) `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 3 `

telle que `forall x in [0,3] : f(x)= abs(x-2) `

1) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-6,9]`

2) Calculer ` f(9,78) ` , `f(-8,75)` , `f(2020) `

3) Pour tout ` k in Z ` on pose `I_k = [3k ,3(k+1)[ `

Calculer `f(x)` en fonction de `x` et `k` pour tout ` x in I _k `


Solution

On considère l'application

1 Montrer que `f` est bijective puis déterminer son application réciproque `f^(-1) `


Solution

On considère les ensembles suivants `E = { -sqrt(5) , -sqrt(2) , -1 ,sqrt(2) , sqrt(5) } ` et `F = {1,2,5}`

a) Définir une application de `E` vers `F`

b) Définir une application de `F` vers `E `


Solution

On considère l'application `f` définie par :

` f : NxxN -> N `

`(x,y ) -> x+y `

a) Déterminer les antécédents de `{0}` par `f`

b) Déterminer l'ensemble des antécédents des éléments ` 2,3 `

c) l'implication suivante est elle vraie : ` f(a,b) = f(c,d) => (a,b)=(c,d) ` ? justifier


Solution


1) Soit `a` et `b` deux entiers relatifs non nuls .Montrer que `a ` / ` b => abs(a) <= abs(b) `

2) Soit `x ` et `y ` deux éléments de `Z^(ast)` et `n` un entier naturel non nul

a Montrer que `xy =1 <=> (x=y=1 text{ ou } x=y =-1 ) `

b Montrer que si `x`/ `y^n` alors `x^n `/ `y^n`


Solution

1 Soit ` a, b , c , x, y ` des éléments de `Z` tels que `a ` / ` (x-y ) ` et ` a ` / `( b-c )`

Montrons que `a` / `(bx -cy) `

2 soit `d` et `n` deux entiers relatifs tels que : `d` / ` n^2+3 ` et ` d ` / `2n-1 `
Montrons que `d` / ` 13 `

3 Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel `n ` pour lesquelles `( n -17 )` / `( n-1) `

4 soit `(x, y) in Z^2 ` et `d ` un diviseur commun de des entiers `x` et `y ` déterminer les valeurs possible s de `d` sachant que `4x -5y = d `

5 Résoudre dans `Z` l'équation `(x+1)(y+2)= 2xy `


Solution


On considère la fonction ` f ` définie sur `R^+` par `f(x)= (sqrt(x))/(1+sqrt(x)) `

1) Montrer que `( forall x in R^+ ) : abs(f(x) -1/2) <= 1/2abs(x-1) `

2) En déduire `lim_{ x to 1} f(x) `


Solution

On considère la fonction ` f ` définie sur `R` par `f(x)= (2x)/(1+x^2) `

1) Montrer que `( forall x in R ) : abs(f(x) -1) <= (x-1)^2 `

2) En déduire que `lim_{ x to 1} f(x)= 1 `


Solution

1 Calculer `lim_{ x to 0} x^3sin(1/x^2)` et `lim_{ x to 0} xcos((pi)/x) `

2 Montrer que ` forall x in ]-1, 1[ : abs(2x^3-3x)<= 3abs(x) ` , puis déterminer `lim_{ x to 0 } (2x^3 -3x)`

3 Justifier que pour tout ` x in [-1,1] : sqrt(abs(x) -x^2) <= sqrt(abs(x))` puis déterminer ` lim_{ x to 0} sqrt(abs(x) -x^2) `


Solution

Montrer en utilisant la définition de la limite que :

1 `lim_{ x to 0} (x^2+x)= 0 `

2 `lim_{ x to 0} x/(2x+1)= 0 `

3 `lim_{ x to 0} (3x^2)/(x^2+1) = 0 `

4 `lim_{ x to 0} (2x+x^2 -x^3)= 0 `


Solution

On considère les vecteurs `vec(u) = 2vec(i) +3vec(j) ` , `vec(v) = (sqrt(5) -2 , sqrt(5) +2) ` , `vec(w) = (2m-1)vec(i) +3vec(j)
, m in R `

1) Calculer ` abs(abs(vec(u))) ` , ` abs(abs(vec(v))) ` , ` abs(abs(vec(w))) `

2) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(10) `


Solution

Montrer que `G` est le barycentre des points pondérés `(A, x) , (B, y) ` ou `( x, y)` sont des réels à déterminer dans chacun des cas suivants :
a) ` vec(GA) -2vec(GB)= vec(0) `

b) ` 2/3vec(AG) = 1/2vec(GB) `

c) ` vec(GA) +vec(GB)= 2vec(BA) `

d) ` 9 vec(AG) +8vec(AB)= vec(0) `


Solution

Soit `A,B ` deux points distincts du plan et `M` le point de la droite `(AB)` tel que `vec(AM)=t vec(AB) `

1 Montrer que `M` est le barycentre du système pondéré `{ (A, 1-t ) , (B , t)}`

2 Montrer que si ` t =2/7 ` alors `M` est aussi barycentre du système `{(A,5) , (B, gamma)} ` ou `gamma` un réel à déterminer


Solution

1 Soit `A, B , C ` trois points du plan tels que ` 2 vec(CA) + 3vec(BC) = vec(0) `

Montrer que le point `B` est le barycentre des deux points ` A ` et `C` en précisant leur poids

2 Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point le que `vec(GA)+2vec(GB) = 1/3vec(AB) `

Montrer que `G` est le barycentre des points `(A,1) , (B,beta) ` ou beta est un réel à déterminer


Solution

Etudier les variations de la fonction numérique `f` sur les intervalles `I ` et `J ` dans les cas suivants

1 `f(x)= (2x-3)/(x+1)` et `I = ]-1,+infty[ ` et `J = ]-infty, -1[`

2 `f(x)= sqrt(x^2-4x +3) ` et `I = ]-infty, 1]` et `J = [3,+infty[`


Solution



Déterminer l'ensemble de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= (x+1)/(2x^2-x-1) `

2 `f(x)= sqrt((x-1)/(x^2-5x-6)) `

3 `f(x)= (sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-5x-6)) `

4 `f(x)= (1-sqrt(x))/(2abs(x) -1) `

5 `f(x)= (tanx)/(cosx -1) `

6 `f(x)= (sqrt(x))/(sin^2x +sinx -2) `


Solution

1 Etudier la dérivabilité de `f` au point ` -1 `

`f(x)= x^3 text{ si } x >= -1 `

`f(x) = x^2-2 text{ si } x < -1 `

1 Etudier la dérivabilité de `f` au point ` 0 `

`f(x)= xsqrt(x) text{ si } x >= 0 `

`f(x) = x^2 text{ si } x < 0 `

1 Etudier la dérivabilité de `f` au point ` 3 `
`f(x)= abs(x^2-3x) `

4 Etudier la dérivabilité de `f` au point ` 1 `

`f(x)= x^3-x text{ si } x >= 1 `

`f(x)= 1/3x^3 -1/3 text{ si } x < 1 `


Solution

Etudier la dérivabilité de la fonction `f` au point `a ` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= 3x^2+2x -1 ` et ` a= sqrt(2)`

2 `f(x)= abs(x^2-2x) ` et ` a= 0`

3 `f(x)= sqrt(abs(x+3)) ` et ` a= -3`

4 `f(x)= (x+1)/(x-5) ` et ` a= 2/3`

5 `f(x)= sinx` et ` a= 0`

6 `f(x)= cosx` et ` a= (pi)/2`

7 `f(x)= sqrt(1+x^2) ; x_0 = 0 `

8 `f(x)= abs(x-1) ; x_0 =1 `


Solution
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