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Quantificateur ` forall `
On a pour tout réel `x ` : `x^2 >= 0 `

` ( forall x in R) : x^2 >= 0 `

`( forall x in [-1, 1] : abs(x) <= 1 `

Quantificateur `exists `

l 'équation `x(x-1)= 0 ` admet ` 0 ` et ` 1 ` comme solutions

On écrit `( exists x in R ) : x(x-1)= 0 `

Quantifcateur `(exists !) `

l'équation `2x -1 = 0 ` admet une solution unique `x_0= 1/2 `

On dit que `( exists ! x in R ) : 2x -1 = 0 `



`P ` : `( forall x in R)( exists y in R ) : x^2 -xy +1 = 0 `

Soit ` x in R ` on a ` x^2 -xy +1 = 0 `

`<=> x^2 +1 = xy `

alors pour `x = 0 ` on trouve que ` 0^2 -0xxy +1= 0 ` absurde

donc la proposition est fausse

`Q` : `( exists y in R ) ( forall x in R ) : x^2 -xy +1 = 0 `

Pour ` y = x ` on trouve que ` x^2 -x^2 +1 = 0 ` absurde

donc ` Q` est fausse

on a ` bar(Q) : ( forall y in R ) ( exists x in R ) : x^2 -xy +1 ne 0 `

Soit ` y in R ` on a `Delta = y^2 -4 `

l'équation n ' pas de solution si `Delta < 0 <=> y^2 < 4 `

Pour ` y = 0 ` on a `x^2+1 ne 0 ` donc ` bar(Q) ` est vraie

alors `Q` est fausse


Solution


Soit `A, B ` deux points distincts du plan Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que :

1 `abs(abs(3vec(MA) -vec(MB))) = 4 `

2 `abs(abs(2vec(MA) + 3vec(MB))) < 5 `

3 `abs(abs(vec(MA)+vec(MB))) = 2abs(abs(2vec(MA)-vec(MB))) `


Solution

Montrer que `tan((pi)/8) = sqrt(2) -1 `


Solution

1) En remarquant que `(7pi)/(12)= (pi)/3 +(pi)/4 ` . Calculer ` cos((7pi)/(12))` et `sin((7pi)/(12))`

2) Calculer ` sin((5pi)/8)cos((pi)/8) - cos((5pi)/8)sin((pi)/8) `

3) Montrer que ` sqrt(3) cos((pi)/8) + sin((pi)/8) = sqrt(2)cos((pi)/(24))`

4) soit ` x in R ` établir les égalités suivantes :

` cosx -sqrt(3) sinx = 2sin((pi)/6 -x) `

` cosx -sinx = sqrt(2)cos(x+(pi)/4)`


Solution

Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que : ` vec(GA)=5/3 vec(AB)`

a) Montrer que `G` est le barycentre du système `{(A,8) , (B, beta) }` ou `beta` est un réel à déterminer

b) Construire le point `G`


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n > 1 `


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 3u_n -6 `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n < 3 `


Solution

On considère les suites `(a_n) , (b_n) , (c_n) ` définies par : `a_n = 5-n ` , ` b_n = n^2+2 ` , ` c_n = (n(n+2))/(n+1)^2`

1) Montrer que `( forall n in N ) : a_n <= 5 ` et ` 2 <= b_n `

2) Montrer que `( forall n in N ) : 0 <= c_n <= 1 `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 2` telle que :

` forall x in [0,2] : f(x)= x -1 `

a) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-4, 6]`

b) Calculer `f(9) , f(-8,5) , f(2020) `


Solution

Donner la période de chacune des fonctions suivantes :

1 `f_1(x)= tan(2x) `

2 `f_2(x)= cos^2x `

3 `f_3(x)= sin(x/2) `

4 `f_4(x)= sin(3x) +cos(2x) `


Solution

On considère la fonction numérique définie sur `R` par `f(x) = (x^2-2x -1)/(x^2-2x+2) `

et les fonctions numériques `u` et `v ` définies par `u(x)=x^2-2x ` et ` v(x)= (x-1)/(x+2) `

a) Donner le tableau de variations de chacune des fonctions `u` et `v`

b) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= vou(x) `

C) En utilisant les variations de `u` et `v ` étudier les les variations de `f` sur chacun des intervalles `[1,+infty[
` et `]-infty , 1] `


Solution

En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonctions , etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans les cas suivants :

1 `f(x)= x^2/(x^2+1) : I = R^+`

2 `f(x)= 2x-4sqrt(x) ; I = [0,1] `

3 `f(x)= (x/(x-1))^3 : I = ]1,+infty[ `


Solution

Déterminer `fog` et `gof` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)=x^2+2 ` et `g(x)= sqrt(x-1) `

2 `f(x)=2x+3 ` et `g(x)= sqrt(x) `

3 `f(x)=x^2 ` et `g(x)=x/(x-4)`

4 `f(x)=x^3` et `g(x)=(2sqrt(x))/(x-1) `


Solution

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= x^3 `

2 `f(x)=-2x^3 `

3 `f(x)= 2x^2abs(x) `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^2 -2abs(x) `

1 Vérifier que `f` est paire

2 Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` est croissante sur `[1,+infty[`

3 En déduire la monotonie de `f` sur chacun des intervalles `[-1,0] ` et `]-infty , -1]`

4 Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`


Solution

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1) `

1) Montrer que `f` est majorée par `3/2 `

2) Montrer que `f` est minorée par `1/2 `


Solution

Etudions le signe de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= -2x^2+x+1 `

2 `f(x)= x^2/(x-3) `

3 `f(x)= sqrt(x)(x-1) `


Solution

soit ` x , y ` deux réels positifs

Montrer que `[ sqrt(x)+sqrt(y) = (x+y+2)/2 ] => [ x= 1 text{ et } y = 1 ] `


Solution

On considère la suite numérique définie par `u_0= 1/4 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=2u_n^2 `

Montrer que `( forall n in N) : 0 < u_n < 1/2 `


Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et `u_(n+1)=u_n/(1+u_n)` pour tout ` n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `

2) Vérifier que `( forall n in N ) : u_(n+1) -u_n = -u_n^2/(1+u_n) `


Solution

On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -sqrt(3)vec(j)` et `vec(v)(4,-3) ` , `vec(w)=vec(i) +mvec(j) ; m in R `

a) Calculer ` abs(abs(vec(u)))` , ` abs(abs(vec(v)))` , ` abs(abs(vec(w)))`

b) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(5)`


Solution
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