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1

Continuité d'une fonction numérique

2

Dérivation et étude des fonctions

3

Suites numériques

4

Fonctions logarithmes
5

Nombres complexes ( Partie I)

6

Fonctions exponentielles
7

Nombres complexes ( Partie II)
8

Calcul Intégral
9

Equations différentielles

10

Produit scalaire dans l espace

11

Produit vectoriel dans l espace

12

Dénombrement et probabilité

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1) Déterminer une équation cartésienne du plan `P` passant par le point `A(-1, 2, 3) ` et perpendiculaire sur la droite `(Delta)` de représentation paramétrique $$ (\Delta) \begin{cases} x= 1-2t \\ \\ y = t \\ \\ z = -1+ t \\ \\ \end{cases} t \in R $$

2) Déterminer les coordonnées du point `I` intersection de `(Delta)` et `(P) `


Solution

1 Pour tout ` z in C ` on pose `f(z)= z^2 -z+2 `

Déterminer tous les complexes `z ` tels que ` f(z) in R `

2 Soit `z` un complexe différent de ` -i ` montrer que `1/(z+i) in R <=>Im(z) = -1 `


Solution


Résoudre les systèmes suivants :

`(S_1)`

`(S_2)`


Solution

Soit `f` la fonction numérique définie sur `I= [4,+infty[` par `f(x)= x/(sqrt(x) -1) `

1) Etudier les variations de la fonction `f`

2) Montrer que `forall x in I : f(x) <= x `

3) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 5 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)`

a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n >= 4 `

b) Montrer qua le suite `(u_n)` est décroissante

c) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite


Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=(7u_n+6)/(u_n+2)`

a Montrer par récurrence que `( forall n in N) : u_n > 0 `

b Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -6) <= 1/2abs(u_n -6) `

c Montrer que par récurrence que ` forall n in N : abs(u_n -6) <= 5(1/2)^n `

d Montrer que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite


Solution

On considère la suite `(u_n)_(n>=1)` définie par `forall n in N^(ast) : u_n = -5 +((-1)^ncosn)/(n+1)`

1 Montrer que `(forall n in N^(ast)) : abs(u_n +5) <= 1/n `

2 EN déduire que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= -3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (3u_n+4)/(u_n+6)`

1 Montrer que ` forall n in N : -4 < u_n < 1 `

2 Montrer que la suite `(u_n)` est croissante et en déduire qu'elle est convergente


Solution

Soit `Omega` un univers et `p` une probabilité définie sur `Omega` on considère deux événements ` A ` et `B` tels que

`p(A)= 1/2 ` , `p(B)= 5/(12) ` , `p(A cup B)= 3/4 `

Calculer `p(bar(A))` , `p(A cap B) ` , `p (bar(A) cap bar(B)) ` ; `p( A cap bar(B))` , `p (A cup bar(B))`


Solution

On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite

1 Citer la liste de tous les résultats possibles en notant `P` pour pile `F` pour face

2 Donner la probabilité de chacun des événements suivants

` A : text{ le tirage ne comporte que des piles }`

`B : text{ le tirage comporte au moins une fois face } `


Solution

un dé cubique truqué est tel que la probabilité `p_k` de sortie du numéro `k` est proportionnelle à `k `

On lance ce dé et on considère les événements

` A : text{ le numéro est pair } `

`B : text{ le numéro est supérieur ou égal à trois }`

Calculer `p_k ` pour chaque ` k in { 1, 2, 3 ....6}` puis en déduire les probabilités `P(A) ` et `P(B)`


Solution

1 `lim_{ x to 0^+}`

2 `lim_{ x to 0^+} `

3 `lim_{ x to +infty} x ln((x-1)/(x+1))`

4 `lim_{ x to +infty} (ln(x^(2017) +x+1))/x`

5 `lim_{ x to 0^+} (lnx)/(lnx+3)`

6 `lim_{ x to -infty} sqrt(x^2ln(1+4/x^2))`

7 `lim_{ x to +infty} (lnx)/(ln(abs(x^2-1)))`

8 `lim_{ x to 3} (2x)/(x-3)ln(x/3)`

9 `lim_{ x to +infty} (x^2 -7x -5lnx) `

10 `lim_{ x to 0^-} xln(x^2-3x)`


Solution

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes

1 ` e^(1-x) <=e^(3x) `

2 ` e^(2x-1) >= 1 `

3 ` (e^x -1)(5-e^x) >= 0 `

4 ` (2e^x -1)/(e^x-2) >= 0 `

5 ` 7e^(2x) -4e^x -3 < 0 `


Solution

Soit `f` la fonction définie sur l'intervalle `]0,+infty[` par `f(x)= x-(lnx)^2`

On note `C_f` la courbe représentative de `f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))` avec `abs(abs(vec(i)) ) = 2cm `

1) a) Montrer que `H : x->xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `ln` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que `int_1^e lnx dx = 1 `

2) En utilisant une intégration par parties , montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `

3) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y = x ` et les droites d'équations cartésiennes `
x= 1 ` et `x = e `


Solution

Résoudre dans `C` les équations suivantes :

1 `z^2 -10z +29 = 0 `

2 ` z^2 -3z +3 = 0 `

3 ` z^2 +2sqrt(5) +7 = 0 `

4 ` 3z^2 +2z +17 = 0 `

5 ` 4z^2 +9 = 0 `

6 `z^2 -(1+sqrt(2))z +sqrt(2)= 0 `

7 `z^3 -8 = 0 `


Solution

1) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe `z = (2+isqrt(3))(3-4i) +(1+1/2i)^2 `

2) Déterminer la forme algébrique du nombres complexe `u = 1/z -1/(z')` sachant que ` z= 1-3i ` et `z'=3/2 +5i`

3) Pour tout `z in C ` on pose `f(z)=z^2-z+2 ` .Déterminer tous les nombres complexes tels que `f(z) in R `

4) soit `z in C-{ -i}` montrer que `1/(z+i) in R <=> Imz = -1 `


Solution

1) Soit `(u_n)` une suite géométrique de raison ` q= 2/5 ` et de premier terme `u_0 = 3 `

a) Exprimer `u_n` en fonction de `n`

b) Exprimer `S_n = u_0+u_1+.....u_n ` en fonction de `n`

2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0 = 1 ` et pour tout ` n in N u_(n+1)= (2n+1)/(4n+6) u_n `

a) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 < u_n <= 1 `

b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

3) soit `(v_n)` la suite définie pour tout ` n in N ` par ` v_n = (2n+1)u_n `

a) Montrer que `(v_n)` est géométrique , Préciser la raison et le premier terme

b) Exprimer `v_n` puis `u_n` en fonction de `n `

4) pour tout ` n in N^(ast)` on pose `S_n = v_1+v_2 +.....v_(n-1) `

Exprimer `S_n` en fonction de ` n `


Solution

1) Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison ` r = 4 ` et de premier terme `u_0 = -6 `

a) Exprimer `u_n` en fonction de `n` puis en déduire `u_(56)`

b) Calculer ` S_n = u_0 +u_1+......u_n ` en fonction de `n`

2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par ` u_0 = 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)= (7u_n -25)/(u_n-3) `

pour tout ` n in N ` on pose ` v_n = 1/(u_n-5) `

a) Montrer que `(v_n)` est arithmétique , Préciser la raison et le premier terme

b) Exprimer ` v_n` puis `u_n` en fonction de ` n `


Solution

On considère la fonction `h` définie sur `[1,+infty[` par `h(x)= x -2sqrt(x) `

1) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1) ` définie sur un intervalle `J ` à déterminer

2) Résoudre dans `[1, +infty[ ` chacune des deux équations `E_1 : h(x)= 0 ` et `E_2 : h(x)= 3 `

3) Montrer que `h^(-1) ` est dérivable en `0` et en `3` puis calculer `(h^(-1))'(0)` , `(h^(-1))'(3)`

4) Calculer `h^(-1)(x) ` pour tout ` x in J `

5) Montrer que `h^(-1) ` est dérivable sur `]-1, +infty[ ` et définir `(h^(-1))' `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= sqrt(x^2+1) -x `

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Montrer que `f^(-1)` est dérivable au point `1` puis calculer `(f^(-1))'(1) `


Solution








Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to -infty} x/(sqrt(x^2+1)) `

2) `lim_{ x to 0} (cosx+sinx-1)/x `

3) `lim_{ x to 1} (xsqrt(x)-1)/(x-1)`

4) `lim_{ x to (pi)/4} (1-sqrt(2)cosx)/(1-sqrt(2)sinx) `

5) `lim_{ x to -1} (x^4-x^2 +x+1)/(x+1) `

6) `lim_{ x to 0} (cosx -sqrt(cos(2x)))/(sin^2x) `

7) `lim_{ x to +infty} xsqrt(x/(x-1)) -x -1 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to + infty} {sinx}/x`

2) `lim_{ x to + infty} {cosx}/x`

3) `lim_{ x to 0} {cosx}/x`

4) ` lim_{ x to 2 } {sin(x-2)}/{3x-6} `

5) `lim_{ x to 0} {xcosx-x}/sin^3x`

6) `lim_{ x to -infty} {2x+sinx}/{3-sinx}`


Solution

calculer les limites suivantes :
1) `lim_{ x to 2} x^3 -2x+1 `
2) `lim_{ x to -1} {1-x^2}/{2x}`
3) `lim_{ x to 0 } sinx/x`


Solution

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