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:
On considère la droite `(D) ` d'équation cartésienne ` 3x+4y -5 = 0 `
1
Trouver un point appartenant à la droite `(D) `
2
Donner un vecteur directeur de `D `
3
le point `B(1/3, 5/3) ` appartient il à la droite `(D) `
On considère les points `A(2, 3) , B(-1,1) `
Déterminer une équation cartésienne de la droite `(AB)`
On considère les points `A(-1,2) ` , `B( 2, 3) ` , `C(1, -1) `
1
Donner une représentation paramétrique de la droite `(AB) `
2
le point `C` appartient il à la droite `(AB) `
3
Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` passant par `B` et de vecteur directeur `vec(u)= 3vec(i) +vec(j)`
On considère les vecteurs `vec(v_1)= 2sqrt(3) vec(i) -1/(sqrt(3)) vec(j) ` , `vec(v_2)=6vec(i) -vec(j) ` , `vec(v_3)= 3vec(i) -(2m+1) vec(j) `
1
Montrer que `vec(v_1) , vec(v_2)` sont colinéaires
2
Déterminer le réel `m` pour que `vec(v_2) , vec(v_3)` soient colinéaires
Résoudre graphiquement :
1
` y -1 < 0 `
2
` 2x-3y +5 >= 0 `
3
$$ \begin{cases} 2x-3y +5 < 0 \\ x-2y > 0 \end{cases} $$
Résoudre les systèmes suivants :
`(S_1) : `
$$ \begin{cases} 3x-4y = -11 \\ 5x+6y =7 \end{cases} $$
`(S_2) : `
$$ \begin{cases} \frac{1}{2}x-3y = 1 \\ x-6y =2 \end{cases} $$
`(S_3) : `
$$ \begin{cases} \sqrt{2}x-y = 2\sqrt{2} \\ -2x+\sqrt{2}y =3 \end{cases} $$
Résoudre dans `R^2` les équations suivantes :
1
`5y -3 = 0 `
2
`sqrt(2)x -2y +5sqrt(6) = 0 `
Résoudre dans `R`
1
` 2x-3 -3(1-x)= 9x -7 `
2
`(x-1)/2 -(2x+5)/3 = 4-x/6`
Calculer dans chacun des cas suivants , le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme `P(x)` par `x -alpha `
1
`P(x)= 3x^5 -2x^3 +3x -11 ` et ` alpha = -4 `
2
`P(x)=6x^4+5x^3-4x+3 ` et ` alpha = 1 `
3
`P(x)= 4x^6 +6x^5 -2x^3 +1 ` et ` alpha = 1/2 `
Sans calcul du discriminant `Delta `
Résoudre les équations suivantes :
1
`x^2 +(sqrt(2) -sqrt(3))x -sqrt(6)= 0 `
2
` x^2-4sqrt(3)x+ 9 = 0 `
Etudier le signe des racines du trinôme `P(x)= -3x^2 +7x +1` ( sans calcul des racines )
Déterminer la somme et le produit des racines de chacun des trinômes suivants :
1
`P(x)= -2x^2 +3x-1 `
2
`Q(x)= x^2-(3+sqrt(2))x +3sqrt(2) `
soit ` x ` et ` y ` deux réels tels que `x = sqrt(3) -1 ` et `y = 1/(1-sqrt(5))`
Déterminer `abs(x)` , `abs(y)` , `abs(x+y )` , `abs(x-y)` , `abs(xy)` , `abs(x/y)`
Soit ` ABC` un triangle
`Q ` est le milieu du segment `[ AC] `
`P ` un point de la droite `(BC)` tel que `vec(BP)= 1/3vec(BC) `
Soit `J` le point d'intersection de la droite `(AC) ` et de la parallèle à la droite `(BQ)` passante par `P`
1
Tracer une figure correspondante
2
Montrer que `vec(QC)= 3vec(QJ) `
On considère la figure suivante tel que les points `A, B, C ` sont alignés et `(D_1) bot (EC) ` :
1
Déterminer les projetés orthogonaux des points `A, B , C , E ` sur `(D_1)`
On considère la figure suivante tel que les points `B, C, F ` sont alignés et `(Delta_1) text{//} (BC) ` :
1
Déterminer les projetés de `A, B , C , E , F ` sur `(D_1)` parallèle à `(Delta_1)`
2
Construire le point `M` tel que le point `E` et `EMCF` est un parallélogramme
soit `a , b ` deux entiers naturels non nuls
Montrer que si `a` est un multiple de `b^2` alors il est multiple de `b`
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