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On considère la droite `(D) ` d'équation cartésienne ` 3x+4y -5 = 0 `

1 Trouver un point appartenant à la droite `(D) `

2 Donner un vecteur directeur de `D `

3 le point `B(1/3, 5/3) ` appartient il à la droite `(D) `


Solution

On considère les points `A(2, 3) , B(-1,1) `

Déterminer une équation cartésienne de la droite `(AB)`


Solution

On considère les points `A(-1,2) ` , `B( 2, 3) ` , `C(1, -1) `

1 Donner une représentation paramétrique de la droite `(AB) `

2 le point `C` appartient il à la droite `(AB) `

3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` passant par `B` et de vecteur directeur `vec(u)= 3vec(i) +vec(j)`


Solution

On considère les vecteurs `vec(v_1)= 2sqrt(3) vec(i) -1/(sqrt(3)) vec(j) ` , `vec(v_2)=6vec(i) -vec(j) ` , `vec(v_3)= 3vec(i) -(2m+1) vec(j) `

1 Montrer que `vec(v_1) , vec(v_2)` sont colinéaires

2 Déterminer le réel `m` pour que `vec(v_2) , vec(v_3)` soient colinéaires


Solution

Résoudre graphiquement :

1 ` y -1 < 0 `

2 ` 2x-3y +5 >= 0 `

3


Solution

Résoudre les systèmes suivants :

`(S_1) : `

`(S_2) : `

`(S_3) : `


Solution

Résoudre dans `R`

1 ` 2x-3 -3(1-x)= 9x -7 `

2 `(x-1)/2 -(2x+5)/3 = 4-x/6`


Solution

Calculer dans chacun des cas suivants , le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme `P(x)` par `x -alpha `

1 `P(x)= 3x^5 -2x^3 +3x -11 ` et ` alpha = -4 `

2 `P(x)=6x^4+5x^3-4x+3 ` et ` alpha = 1 `

3 `P(x)= 4x^6 +6x^5 -2x^3 +1 ` et ` alpha = 1/2 `


Solution

Sans calcul du discriminant `Delta `

Résoudre les équations suivantes :

1 `x^2 +(sqrt(2) -sqrt(3))x -sqrt(6)= 0 `

2 ` x^2-4sqrt(3)x+ 9 = 0 `


Solution

Résoudre dans `R` les équations suivantes :

1 ` x^2-6x +8 = 0 `

2 ` 3x^2+2x+1 = 0 `

3 ` 2x^2 +x-2 = 0 `

4 ` 9x^2 +2x+1/9 = 0 `


Solution

soit ` x ` et ` y ` deux réels tels que `x = sqrt(3) -1 ` et `y = 1/(1-sqrt(5))`

Déterminer `abs(x)` , `abs(y)` , `abs(x+y )` , `abs(x-y)` , `abs(xy)` , `abs(x/y)`


Solution

1 soit ` n ` un entier naturel non nul comparer `(2n)/(2n+1) ` et `(2n-1)/(2n)`

2 ` a , b ` deux réels strictement positifs :

a) Comparer ` a+b ` et ` 2sqrt(ab) `

b ) en déduire que `a/b +b/a >= 2 ` et `(a+b)(1/a+1/b) >= 4 `


Solution

Soit ` ABC` un triangle

`Q ` est le milieu du segment `[ AC] `

`P ` un point de la droite `(BC)` tel que `vec(BP)= 1/3vec(BC) `

Soit `J` le point d'intersection de la droite `(AC) ` et de la parallèle à la droite `(BQ)` passante par `P`

1 Tracer une figure correspondante

2 Montrer que `vec(QC)= 3vec(QJ) `


Solution

On considère la figure suivante tel que les points `A, B, C ` sont alignés et `(D_1) bot (EC) ` :



1 Déterminer les projetés orthogonaux des points `A, B , C , E ` sur `(D_1)`


Solution


On considère la figure suivante tel que les points `B, C, F ` sont alignés et `(Delta_1) text{//} (BC) ` :



1 Déterminer les projetés de `A, B , C , E , F ` sur `(D_1)` parallèle à `(Delta_1)`

2 Construire le point `M` tel que le point `E` et `EMCF` est un parallélogramme


Solution

soit `a , b ` deux entiers naturels non nuls

Montrer que si `a` est un multiple de `b^2` alors il est multiple de `b`


Solution

1 ) Résoudre dans `[-pi,pi] ` l'équation `2sin2x -1 = 0 `


Solution
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