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Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :

1 `P_1 : (pi)/2 in Q `

2 ` P_2 : (sqrt((3+sqrt(5))/2)- sqrt((3-sqrt(5))/2))^2 =1 `

3 ` P_3 : cos((pi)/7) > 1 `

4 ` P_4: ` les solutions de l'équation `2019x^2 -2018x -1 = 0 ` sont ` 1 , -1/(2019)`


Solution

1 Montrer que pour tout `(x,y) in R^2 : E(x-y) = E(x) -E(y) +epsilon ` avec `epsilon = 0 ` ou ` -1 `

2 En déduire que la fonction ` x->E(x)` est croissante sur `R`


Solution


1) Soit `a` et `b` deux entiers relatifs non nuls .Montrer que `a ` / ` b => abs(a) <= abs(b) `

2) Soit `x ` et `y ` deux éléments de `Z^(ast)` et `n` un entier naturel non nul

a Montrer que `xy =1 <=> (x=y=1 text{ ou } x=y =-1 ) `

b Montrer que si `x`/ `y^n` alors `x^n `/ `y^n`


Solution

1 Soit ` a, b , c , x, y ` des éléments de `Z` tels que `a ` / ` (x-y ) ` et ` a ` / `( b-c )`

Montrons que `a` / `(bx -cy) `

2 soit `d` et `n` deux entiers relatifs tels que : `d` / ` n^2+3 ` et ` d ` / `2n-1 `
Montrons que `d` / ` 13 `

3 Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel `n ` pour lesquelles `( n -17 )` / `( n-1) `

4 soit `(x, y) in Z^2 ` et `d ` un diviseur commun de des entiers `x` et `y ` déterminer les valeurs possible s de `d` sachant que `4x -5y = d `

5 Résoudre dans `Z` l'équation `(x+1)(y+2)= 2xy `


Solution

On considère la fonction ` f ` définie sur `R` par `f(x)= (2x)/(1+x^2) `

1) Montrer que `( forall x in R ) : abs(f(x) -1) <= (x-1)^2 `

2) En déduire que `lim_{ x to 1} f(x)= 1 `


Solution

1 Calculer `lim_{ x to 0} x^3sin(1/x^2)` et `lim_{ x to 0} xcos((pi)/x) `

2 Montrer que ` forall x in ]-1, 1[ : abs(2x^3-3x)<= 3abs(x) ` , puis déterminer `lim_{ x to 0 } (2x^3 -3x)`

3 Justifier que pour tout ` x in [-1,1] : sqrt(abs(x) -x^2) <= sqrt(abs(x))` puis déterminer ` lim_{ x to 0} sqrt(abs(x) -x^2) `


Solution

Montrer en utilisant la définition de la limite que :

1 `lim_{ x to 0} (x^2+x)= 0 `

2 `lim_{ x to 0} x/(2x+1)= 0 `

3 `lim_{ x to 0} (3x^2)/(x^2+1) = 0 `

4 `lim_{ x to 0} (2x+x^2 -x^3)= 0 `


Solution

On considère les vecteurs `vec(u) = 2vec(i) +3vec(j) ` , `vec(v) = (sqrt(5) -2 , sqrt(5) +2) ` , `vec(w) = (2m-1)vec(i) +3vec(j)
, m in R `

1) Calculer ` abs(abs(vec(u))) ` , ` abs(abs(vec(v))) ` , ` abs(abs(vec(w))) `

2) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(10) `


Solution

Montrer que `G` est le barycentre des points pondérés `(A, x) , (B, y) ` ou `( x, y)` sont des réels à déterminer dans chacun des cas suivants :
a) ` vec(GA) -2vec(GB)= vec(0) `

b) ` 2/3vec(AG) = 1/2vec(GB) `

c) ` vec(GA) +vec(GB)= 2vec(BA) `

d) ` 9 vec(AG) +8vec(AB)= vec(0) `


Solution

Soit `A,B ` deux points distincts du plan et `M` le point de la droite `(AB)` tel que `vec(AM)=t vec(AB) `

1 Montrer que `M` est le barycentre du système pondéré `{ (A, 1-t ) , (B , t)}`

2 Montrer que si ` t =2/7 ` alors `M` est aussi barycentre du système `{(A,5) , (B, gamma)} ` ou `gamma` un réel à déterminer


Solution

1 Soit `A, B , C ` trois points du plan tels que ` 2 vec(CA) + 3vec(BC) = vec(0) `

Montrer que le point `B` est le barycentre des deux points ` A ` et `C` en précisant leur poids

2 Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point le que `vec(GA)+2vec(GB) = 1/3vec(AB) `

Montrer que `G` est le barycentre des points `(A,1) , (B,beta) ` ou beta est un réel à déterminer


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par `f(x)= abs(x) +1/(abs(x))`

Montrer que `f ` admet un minimum absolu au point `1 `


Solution

On considère les fonctions `f` et `g` définies sur `R` par `f(x)=x^2+2x+3 ` et `g(x)= -x^2+3x+5 `

a) Montrer que `2 ` est la valeur minimale absolue de la fonction `f`

b) Montrer que `(29)/4 ` est la valeur maximale absolue de la fonction `g`


Solution

1

a) Montrer que la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^4-x^2)/(x^4+1) ` est bornée sur `R`

b) Montrer que la fonction `g` définie sur `R` par `f(x)=2cosx -7sin(2x) +1 ` est bornée sur `R`

2

Montrer par l'absurde que la fonction `h` définie sur `R^+` par `h(x)= x-sqrt(x+1) ` n'est pas bornée sur `R^+`


Solution

On considère la fonction `g` définie sur `R^(ast)` par `g(x)=x+1/x `

a) Montrer que `g` est minorée par `2 ` sur `R^(ast,+) `

b) Montrer que `g` est majorée par `-2 ` sur `R^(ast,-) `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= (2x^2+7x+7)/(x^2+3x+3) `

a) Montrer que `f` est majorée par `7/3`

b) Montrer que `f` est minorée par `1 `


Solution

Etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= 2sqrt(x) -3 ` et `I = R^+`

2 `f(x)= x^2-5 ` et `I = R^-`

3 `f(x)=(x+1)/x ` et `I = R^+`

4 `f(x)= (14x -10)/x ` et `I = R^-`


Solution

Etudier les variations de la fonction numérique `f` sur les intervalles `I ` et `J ` dans les cas suivants

1 `f(x)= (2x-3)/(x+1)` et `I = ]-1,+infty[ ` et `J = ]-infty, -1[`

2 `f(x)= sqrt(x^2-4x +3) ` et `I = ]-infty, 1]` et `J = [3,+infty[`


Solution

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= (x+1)/(2x^2-x-1) `

2 `f(x)= sqrt((x-1)/(x^2-5x-6)) `

3 `f(x)= (sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-5x-6)) `

4 `f(x)= (1-sqrt(x))/(2abs(x) -1) `

5 `f(x)= (tanx)/(cosx -1) `

6 `f(x)= (sqrt(x))/(sin^2x +sinx -2) `


Solution

Comparer les fonctions `f` et `g` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= x^2-2x+4 ` et `g(x)= x^2 -1 `

2 `f(x)= x^2/(x-1) ` et `g(x)= x+1 `


Solution

Etudier la dérivabilité de `f` au point `a` dans chacun des cas suivants
1)

`f(x)= x^3; x >= -1 `

`f(x) = x^2-2 : x < -1 ` et ` a= -1 `

2)

`f(x)= xsqrt(x) ; x >= 0 `

`f(x) = x^2 ; x < 0 ` et ` a= 0 `

3) `f(x)= abs(x^2-3x) ` et ` a= 3`

4)

`f(x)= x^3-x ; x >= 1 `

`f(x)= 1/3x^3 -1/3 ; x < 1 ` et ` a= 1 `


Solution

Etudier la dérivabilité de la fonction `f` au point `a ` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= 3x^2+2x -1 ` et ` a= sqrt(2)`

2 `f(x)= abs(x^2-2x) ` et ` a= 0`

3 `f(x)= sqrt(abs(x+3)) ` et ` a= -3`

4 `f(x)= (x+1)/(x-5) ` et ` a= 2/3`

5 `f(x)= sinx` et ` a= 0`

6 `f(x)= cosx` et ` a= (pi)/2`


Solution
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