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:
On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 3 `
telle que `forall x in [0,3] : f(x)= abs(x-2) `
1) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-6,9]`
2) Calculer ` f(9,78) ` , `f(-8,75)` , `f(2020) `
3) Pour tout ` k in Z ` on pose `I_k = [3k ,3(k+1)[ `
Calculer `f(x)` en fonction de `x` et `k` pour tout ` x in I _k `
On considère l'application
$$ f : \begin{cases} [1, +\infty[ \to [\sqrt{2} , +\infty[ \\ \\ x \to \sqrt{x^2+x} \end{cases} $$
1
Montrer que `f` est bijective puis déterminer son application réciproque `f^(-1) `
On considère les ensembles suivants `E = { -sqrt(5) , -sqrt(2) , -1 ,sqrt(2) , sqrt(5) } ` et `F = {1,2,5}`
a) Définir une application de `E` vers `F`
b) Définir une application de `F` vers `E `
On considère l'application `f` définie par :
` f : NxxN -> N `
`(x,y ) -> x+y `
a) Déterminer les antécédents de `{0}` par `f`
b) Déterminer l'ensemble des antécédents des éléments ` 2,3 `
c) l'implication suivante est elle vraie : ` f(a,b) = f(c,d) => (a,b)=(c,d) ` ? justifier
Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
1
`P_1 : (pi)/2 in Q `
2
` P_2 : (sqrt((3+sqrt(5))/2)- sqrt((3-sqrt(5))/2))^2 =1 `
3
` P_3 : cos((pi)/7) > 1 `
4
` P_4: ` les solutions de l'équation `2019x^2 -2018x -1 = 0 ` sont ` 1 , -1/(2019)`
1
Montrer que pour tout `(x,y) in R^2 : E(x-y) = E(x) -E(y) +epsilon ` avec `epsilon = 0 ` ou ` -1 `
2
En déduire que la fonction ` x->E(x)` est croissante sur `R`
1) Soit `a` et `b` deux entiers relatifs non nuls .Montrer que `a ` / ` b => abs(a) <= abs(b) `
2) Soit `x ` et `y ` deux éléments de `Z^(ast)` et `n` un entier naturel non nul
a
Montrer que `xy =1 <=> (x=y=1 text{ ou } x=y =-1 ) `
b
Montrer que si `x`/ `y^n` alors `x^n `/ `y^n`
1
Soit ` a, b , c , x, y ` des éléments de `Z` tels que `a ` / ` (x-y ) ` et ` a ` / `( b-c )`
Montrons que `a` / `(bx -cy) `
2
soit `d` et `n` deux entiers relatifs tels que : `d` / ` n^2+3 ` et ` d ` / `2n-1 `
Montrons que `d` / ` 13 `
3
Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel `n ` pour lesquelles `( n -17 )` / `( n-1) `
4
soit `(x, y) in Z^2 ` et `d ` un diviseur commun de des entiers `x` et `y ` déterminer les valeurs possible s de `d` sachant que `4x -5y = d `
5
Résoudre dans `Z` l'équation `(x+1)(y+2)= 2xy `
On considère la fonction ` f ` définie sur `R` par `f(x)= (2x)/(1+x^2) `
1) Montrer que `( forall x in R ) : abs(f(x) -1) <= (x-1)^2 `
2) En déduire que `lim_{ x to 1} f(x)= 1 `
1
Calculer `lim_{ x to 0} x^3sin(1/x^2)` et `lim_{ x to 0} xcos((pi)/x) `
2
Montrer que ` forall x in ]-1, 1[ : abs(2x^3-3x)<= 3abs(x) ` , puis déterminer `lim_{ x to 0 } (2x^3 -3x)`
3
Justifier que pour tout ` x in [-1,1] : sqrt(abs(x) -x^2) <= sqrt(abs(x))` puis déterminer ` lim_{ x to 0} sqrt(abs(x) -x^2) `
Montrer en utilisant la définition de la limite que :
1
`lim_{ x to 0} (x^2+x)= 0 `
2
`lim_{ x to 0} x/(2x+1)= 0 `
3
`lim_{ x to 0} (3x^2)/(x^2+1) = 0 `
4
`lim_{ x to 0} (2x+x^2 -x^3)= 0 `
On considère les vecteurs `vec(u) = 2vec(i) +3vec(j) ` , `vec(v) = (sqrt(5) -2 , sqrt(5) +2) ` , `vec(w) = (2m-1)vec(i) +3vec(j)
, m in R `
1) Calculer ` abs(abs(vec(u))) ` , ` abs(abs(vec(v))) ` , ` abs(abs(vec(w))) `
2) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(10) `
Montrer que `G` est le barycentre des points pondérés `(A, x) , (B, y) ` ou `( x, y)` sont des réels à déterminer dans chacun des cas suivants :
a) ` vec(GA) -2vec(GB)= vec(0) `
b) ` 2/3vec(AG) = 1/2vec(GB) `
c) ` vec(GA) +vec(GB)= 2vec(BA) `
d) ` 9 vec(AG) +8vec(AB)= vec(0) `
Soit `A,B ` deux points distincts du plan et `M` le point de la droite `(AB)` tel que `vec(AM)=t vec(AB) `
1
Montrer que `M` est le barycentre du système pondéré `{ (A, 1-t ) , (B , t)}`
2
Montrer que si ` t =2/7 ` alors `M` est aussi barycentre du système `{(A,5) , (B, gamma)} ` ou `gamma` un réel à déterminer
1
Soit `A, B , C ` trois points du plan tels que ` 2 vec(CA) + 3vec(BC) = vec(0) `
Montrer que le point `B` est le barycentre des deux points ` A ` et `C` en précisant leur poids
2
Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point le que `vec(GA)+2vec(GB) = 1/3vec(AB) `
Montrer que `G` est le barycentre des points `(A,1) , (B,beta) ` ou beta est un réel à déterminer
On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par `f(x)= abs(x) +1/(abs(x))`
Montrer que `f ` admet un minimum absolu au point `1 `
On considère les fonctions `f` et `g` définies sur `R` par `f(x)=x^2+2x+3 ` et `g(x)= -x^2+3x+5 `
a) Montrer que `2 ` est la valeur minimale absolue de la fonction `f`
b) Montrer que `(29)/4 ` est la valeur maximale absolue de la fonction `g`
1
a) Montrer que la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^4-x^2)/(x^4+1) ` est bornée sur `R`
b) Montrer que la fonction `g` définie sur `R` par `f(x)=2cosx -7sin(2x) +1 ` est bornée sur `R`
2
Montrer par l'absurde que la fonction `h` définie sur `R^+` par `h(x)= x-sqrt(x+1) ` n'est pas bornée sur `R^+`
On considère la fonction `g` définie sur `R^(ast)` par `g(x)=x+1/x `
a) Montrer que `g` est minorée par `2 ` sur `R^(ast,+) `
b) Montrer que `g` est majorée par `-2 ` sur `R^(ast,-) `
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= (2x^2+7x+7)/(x^2+3x+3) `
a) Montrer que `f` est majorée par `7/3`
b) Montrer que `f` est minorée par `1 `
Etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)= 2sqrt(x) -3 ` et `I = R^+`
2
`f(x)= x^2-5 ` et `I = R^-`
3
`f(x)=(x+1)/x ` et `I = R^+`
4
`f(x)= (14x -10)/x ` et `I = R^-`
Etudier les variations de la fonction numérique `f` sur les intervalles `I ` et `J ` dans les cas suivants
1
`f(x)= (2x-3)/(x+1)` et `I = ]-1,+infty[ ` et `J = ]-infty, -1[`
2
`f(x)= sqrt(x^2-4x +3) ` et `I = ]-infty, 1]` et `J = [3,+infty[`
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)= (x+1)/(2x^2-x-1) `
2
`f(x)= sqrt((x-1)/(x^2-5x-6)) `
3
`f(x)= (sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-5x-6)) `
4
`f(x)= (1-sqrt(x))/(2abs(x) -1) `
5
`f(x)= (tanx)/(cosx -1) `
6
`f(x)= (sqrt(x))/(sin^2x +sinx -2) `
Comparer les fonctions `f` et `g` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)= x^2-2x+4 ` et `g(x)= x^2 -1 `
2
`f(x)= x^2/(x-1) ` et `g(x)= x+1 `
Etudier la dérivabilité de `f` au point `a` dans chacun des cas suivants
1)
`f(x)= x^3; x >= -1 `
`f(x) = x^2-2 : x < -1 ` et ` a= -1 `
2)
`f(x)= xsqrt(x) ; x >= 0 `
`f(x) = x^2 ; x < 0 ` et ` a= 0 `
3) `f(x)= abs(x^2-3x) ` et ` a= 3`
4)
`f(x)= x^3-x ; x >= 1 `
`f(x)= 1/3x^3 -1/3 ; x < 1 ` et ` a= 1 `
Etudier la dérivabilité de la fonction `f` au point `a ` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)= 3x^2+2x -1 ` et ` a= sqrt(2)`
2
`f(x)= abs(x^2-2x) ` et ` a= 0`
3
`f(x)= sqrt(abs(x+3)) ` et ` a= -3`
4
`f(x)= (x+1)/(x-5) ` et ` a= 2/3`
5
`f(x)= sinx` et ` a= 0`
6
`f(x)= cosx` et ` a= (pi)/2`
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