exercices corrigés et cours 1 BAC sciences expérimentales

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Soit `A, B ` deux points distincts du plan Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que :

1 `abs(abs(3vec(MA) -vec(MB))) = 4 `

2 `abs(abs(2vec(MA) + 3vec(MB))) < 5 `

3 `abs(abs(vec(MA)+vec(MB))) = 2abs(abs(2vec(MA)-vec(MB))) `

Solution

Montrer que `tan((pi)/8) = sqrt(2) -1 `

Solution

1) En remarquant que `(7pi)/(12)= (pi)/3 +(pi)/4 ` . Calculer ` cos((7pi)/(12))` et `sin((7pi)/(12))`

2) Calculer ` sin((5pi)/8)cos((pi)/8) - cos((5pi)/8)sin((pi)/8) `

3) Montrer que ` sqrt(3) cos((pi)/8) + sin((pi)/8) = sqrt(2)cos((pi)/(24))`

4) soit ` x in R ` établir les égalités suivantes :

` cosx -sqrt(3) sinx = 2sin((pi)/6 -x) `

` cosx -sinx = sqrt(2)cos(x+(pi)/4)`

Solution

Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que : ` vec(GA)=5/3 vec(AB)`

a) Montrer que `G` est le barycentre du système `{(A,8) , (B, beta) }` ou `beta` est un réel à déterminer

b) Construire le point `G`

Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n > 1 `

Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 3u_n -6 `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n < 3 `

Solution

On considère les suites `(a_n) , (b_n) , (c_n) ` définies par : `a_n = 5-n ` , ` b_n = n^2+2 ` , ` c_n = (n(n+2))/(n+1)^2`

1) Montrer que `( forall n in N ) : a_n <= 5 ` et ` 2 <= b_n `

2) Montrer que `( forall n in N ) : 0 <= c_n <= 1 `

Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 2` telle que :

` forall x in [0,2] : f(x)= x -1 `

a) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-4, 6]`

b) Calculer `f(9) , f(-8,5) , f(2020) `

Solution

Donner la période de chacune des fonctions suivantes :

1 `f_1(x)= tan(2x) `

2 `f_2(x)= cos^2x `

3 `f_3(x)= sin(x/2) `

4 `f_4(x)= sin(3x) +cos(2x) `

Solution

On considère la fonction numérique définie sur `R` par `f(x) = (x^2-2x -1)/(x^2-2x+2) `

et les fonctions numériques `u` et `v ` définies par `u(x)=x^2-2x ` et ` v(x)= (x-1)/(x+2) `

a) Donner le tableau de variations de chacune des fonctions `u` et `v`

b) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= vou(x) `

C) En utilisant les variations de `u` et `v ` étudier les les variations de `f` sur chacun des intervalles `[1,+infty[
` et `]-infty , 1] `

Solution

En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonctions , etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans les cas suivants :

1 `f(x)= x^2/(x^2+1) : I = R^+`

2 `f(x)= 2x-4sqrt(x) ; I = [0,1] `

3 `f(x)= (x/(x-1))^3 : I = ]1,+infty[ `

Solution

Déterminer `fog` et `gof` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)=x^2+2 ` et `g(x)= sqrt(x-1) `

2 `f(x)=2x+3 ` et `g(x)= sqrt(x) `

3 `f(x)=x^2 ` et `g(x)=x/(x-4)`

4 `f(x)=x^3` et `g(x)=(2sqrt(x))/(x-1) `

Solution

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= x^3 `

2 `f(x)=-2x^3 `

3 `f(x)= 2x^2abs(x) `

Solution

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= x/(x-2) `

2 `f(x)= (2x+1)/(x-1) `

3 `f(x)= 2-1/x `

Solution

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes , puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= -2x^2+4x `

2 `g(x)= x^2+2x+3 `

Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^2 -2abs(x) `

1 Vérifier que `f` est paire

2 Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` est croissante sur `[1,+infty[`

3 En déduire la monotonie de `f` sur chacun des intervalles `[-1,0] ` et `]-infty , -1]`

4 Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^3+3x `

1 Vérifier que `f` est impaire

2 Montrer que `f` est croissante sur `R^+`

3 En déduire la monotonie de `f` sur `R^-`

4 Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

Solution

Etudier les variations de la fonction `f` sur les intervalle `I` et `J ` dans les cas suivants :

1 `f(x)=(2x)/(x-2) ` , `I = ]2,+infty[ , J =]-infty,2[ `

2 `f(x)=-2x^2+4x+1 ` , `I = [1,+infty[ , J =]-infty,1] `

Solution

1 Montrer que `3` est la valeur minimale absolue de la fonction `f : x-> 2x^2+4x+5 `

2 Montrer que `9` est la valeur maximale absolue de la fonction `g : x-> -2x^2+12x -9`

Solution

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)= 2cos(2x) -5sinx +3 `

Montrer que `f` est bornée sur `R`

Solution

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(5x^2+2)/(x^2+1) `

1) Montrer que `f` est majorée par `5 ` sur `R`

2) Montrer que `f` est minorée par `2 ` sur `R`

Solution

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1) `

1) Montrer que `f` est majorée par `3/2 `

2) Montrer que `f` est minorée par `1/2 `

Solution

Etudions le signe de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= -2x^2+x+1 `

2 `f(x)= x^2/(x-3) `

3 `f(x)= sqrt(x)(x-1) `

Solution

soit ` x , y ` deux réels positifs

Montrer que `[ sqrt(x)+sqrt(y) = (x+y+2)/2 ] => [ x= 1 text{ et } y = 1 ] `

Solution

1) Montrer que la suite `(u_n)` définie par `u_n = -7n +1 ` est arithmétique et déterminer sa raison

2) On considère la suite `(u_n)_{ n >= 1}` définie par `u_1 =0 ` et `u_(n+1)= (25)/(10 -u_n) ` pour tout ` n in N^(ast)`

On pose pour tout ` n in N^(ast) : v_n = 1/(u_n-5) `

Montrer que la suite `(v_n)` est arithmétique et déterminer sa raison `r`

Solution

On considère la suite numérique définie par `u_0= 1/4 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=2u_n^2 `

Montrer que `( forall n in N) : 0 < u_n < 1/2 `

Solution

Montrer que la suite `(a_n)` définie par ` a_n = n/(n+1) ` est majorée par `1 ` et minorée par `0 `

Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 2 ` et `u_(n+1)=1/3u_n + 2 ` pour tout ` n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `

2) Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -u_n =2/3(3-u_n) `

3) Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -3 =1/3(u_n-3) `

Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et `u_(n+1)=u_n/(1+u_n)` pour tout ` n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `

2) Vérifier que `( forall n in N ) : u_(n+1) -u_n = -u_n^2/(1+u_n) `

Solution

On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -sqrt(3)vec(j)` et `vec(v)(4,-3) ` , `vec(w)=vec(i) +mvec(j) ; m in R `

a) Calculer ` abs(abs(vec(u)))` , ` abs(abs(vec(v)))` , ` abs(abs(vec(w)))`

b) Déterminer les valeurs de `m` sachnat que ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(5)`

Solution

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Soit `A, B ` deux points distincts du plan Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que :

1 `abs(abs(3vec(MA) -vec(MB))) = 4 `

2 `abs(abs(2vec(MA) + 3vec(MB))) < 5 `

3 `abs(abs(vec(MA)+vec(MB))) = 2abs(abs(2vec(MA)-vec(MB))) `

Montrer que `tan((pi)/8) = sqrt(2) -1 `

Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que : ` vec(GA)=5/3 vec(AB)`

a) Montrer que `G` est le barycentre du système `{(A,8) , (B, beta) }` ou `beta` est un réel à déterminer

b) Construire le point `G`

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n > 1 `

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 3u_n -6 `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n < 3 `

On considère les suites `(a_n) , (b_n) , (c_n) ` définies par : `a_n = 5-n ` , ` b_n = n^2+2 ` , ` c_n = (n(n+2))/(n+1)^2`

1) Montrer que `( forall n in N ) : a_n <= 5 ` et ` 2 <= b_n `

2) Montrer que `( forall n in N ) : 0 <= c_n <= 1 `

On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 2` telle que :

` forall x in [0,2] : f(x)= x -1 `

a) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-4, 6]`

b) Calculer `f(9) , f(-8,5) , f(2020) `

Donner la période de chacune des fonctions suivantes :

1 `f_1(x)= tan(2x) `

2 `f_2(x)= cos^2x `

3 `f_3(x)= sin(x/2) `

4 `f_4(x)= sin(3x) +cos(2x) `

En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonctions , etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans les cas suivants :

1 `f(x)= x^2/(x^2+1) : I = R^+`

2 `f(x)= 2x-4sqrt(x) ; I = [0,1] `

3 `f(x)= (x/(x-1))^3 : I = ]1,+infty[ `

Déterminer `fog` et `gof` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)=x^2+2 ` et `g(x)= sqrt(x-1) `

2 `f(x)=2x+3 ` et `g(x)= sqrt(x) `

3 `f(x)=x^2 ` et `g(x)=x/(x-4)`

4 `f(x)=x^3` et `g(x)=(2sqrt(x))/(x-1) `

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= x^3 `

2 `f(x)=-2x^3 `

3 `f(x)= 2x^2abs(x) `

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= x/(x-2) `

2 `f(x)= (2x+1)/(x-1) `

3 `f(x)= 2-1/x `

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes , puis tracer sa courbe représentative

1 `f(x)= -2x^2+4x `

2 `g(x)= x^2+2x+3 `

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^3+3x `

1 Vérifier que `f` est impaire

2 Montrer que `f` est croissante sur `R^+`

3 En déduire la monotonie de `f` sur `R^-`

4 Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

Etudier les variations de la fonction `f` sur les intervalle `I` et `J ` dans les cas suivants :

1 `f(x)=(2x)/(x-2) ` , `I = ]2,+infty[ , J =]-infty,2[ `

2 `f(x)=-2x^2+4x+1 ` , `I = [1,+infty[ , J =]-infty,1] `

1 Montrer que `3` est la valeur minimale absolue de la fonction `f : x-> 2x^2+4x+5 `

2 Montrer que `9` est la valeur maximale absolue de la fonction `g : x-> -2x^2+12x -9`

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)= 2cos(2x) -5sinx +3 `

Montrer que `f` est bornée sur `R`

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(5x^2+2)/(x^2+1) `

1) Montrer que `f` est majorée par `5 ` sur `R`

2) Montrer que `f` est minorée par `2 ` sur `R`

On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1) `

1) Montrer que `f` est majorée par `3/2 `

2) Montrer que `f` est minorée par `1/2 `

Etudions le signe de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1 `f(x)= -2x^2+x+1 `

2 `f(x)= x^2/(x-3) `

3 `f(x)= sqrt(x)(x-1) `

soit ` x , y ` deux réels positifs

Montrer que `[ sqrt(x)+sqrt(y) = (x+y+2)/2 ] => [ x= 1 text{ et } y = 1 ] `

On considère la suite numérique définie par `u_0= 1/4 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=2u_n^2 `

Montrer que `( forall n in N) : 0 < u_n < 1/2 `

Montrer que la suite `(a_n)` définie par ` a_n = n/(n+1) ` est majorée par `1 ` et minorée par `0 `

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 2 ` et `u_(n+1)=1/3u_n + 2 ` pour tout ` n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `

2) Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -u_n =2/3(3-u_n) `

3) Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -3 =1/3(u_n-3) `

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et `u_(n+1)=u_n/(1+u_n)` pour tout ` n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `

2) Vérifier que `( forall n in N ) : u_(n+1) -u_n = -u_n^2/(1+u_n) `

On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -sqrt(3)vec(j)` et `vec(v)(4,-3) ` , `vec(w)=vec(i) +mvec(j) ; m in R `

a) Calculer ` abs(abs(vec(u)))` , ` abs(abs(vec(v)))` , ` abs(abs(vec(w)))`

b) Déterminer les valeurs de `m` sachnat que ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(5)`

Devoirsen ligne

`3 AC `

Tronc commun

1 BAC Sciences maths

1 BAC Sciences expérimentales

2 BAC Sciences maths

2 BAC PC

2 BAC SVT

P réparation aux concours

Médecine

ENSA

Notions de logique

Généralités sur les fonctions

Suites numériques

Barycentre dans le plan

Etude analytique du produit scalaire

Trigonométrie

Limites d'une fonction numérique

Dérivation

Rotation dans le plan

Vecteurs de l'espace

Etude de fonctions numériques

Etude analytique de l'espace

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