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:
Soit `A, B ` deux points distincts du plan Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que :
1
`abs(abs(3vec(MA) -vec(MB))) = 4 `
2
`abs(abs(2vec(MA) + 3vec(MB))) < 5 `
3
`abs(abs(vec(MA)+vec(MB))) = 2abs(abs(2vec(MA)-vec(MB))) `
Montrer que `tan((pi)/8) = sqrt(2) -1 `
1) En remarquant que `(7pi)/(12)= (pi)/3 +(pi)/4 ` . Calculer ` cos((7pi)/(12))` et `sin((7pi)/(12))`
2) Calculer ` sin((5pi)/8)cos((pi)/8) - cos((5pi)/8)sin((pi)/8) `
3) Montrer que ` sqrt(3) cos((pi)/8) + sin((pi)/8) = sqrt(2)cos((pi)/(24))`
4) soit ` x in R ` établir les égalités suivantes :
` cosx -sqrt(3) sinx = 2sin((pi)/6 -x) `
` cosx -sinx = sqrt(2)cos(x+(pi)/4)`
Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que : ` vec(GA)=5/3 vec(AB)`
a) Montrer que `G` est le barycentre du système `{(A,8) , (B, beta) }` ou `beta` est un réel à déterminer
b) Construire le point `G`
On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) `
Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n > 1 `
On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 3u_n -6 `
Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n < 3 `
On considère les suites `(a_n) , (b_n) , (c_n) ` définies par : `a_n = 5-n ` , ` b_n = n^2+2 ` , ` c_n = (n(n+2))/(n+1)^2`
1) Montrer que `( forall n in N ) : a_n <= 5 ` et ` 2 <= b_n `
2) Montrer que `( forall n in N ) : 0 <= c_n <= 1 `
On considère la fonction `f` définie sur `R` , périodique de période `T = 2` telle que :
` forall x in [0,2] : f(x)= x -1 `
a) Représenter graphiquement la fonction `f` sur l intervalle `[-4, 6]`
b) Calculer `f(9) , f(-8,5) , f(2020) `
Donner la période de chacune des fonctions suivantes :
1
`f_1(x)= tan(2x) `
2
`f_2(x)= cos^2x `
3
`f_3(x)= sin(x/2) `
4
`f_4(x)= sin(3x) +cos(2x) `
On considère la fonction numérique définie sur `R` par `f(x) = (x^2-2x -1)/(x^2-2x+2) `
et les fonctions numériques `u` et `v ` définies par `u(x)=x^2-2x ` et ` v(x)= (x-1)/(x+2) `
a) Donner le tableau de variations de chacune des fonctions `u` et `v`
b) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= vou(x) `
C) En utilisant les variations de `u` et `v ` étudier les les variations de `f` sur chacun des intervalles `[1,+infty[
` et `]-infty , 1] `
En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonctions , etudier la monotonie de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans les cas suivants :
1
`f(x)= x^2/(x^2+1) : I = R^+`
2
`f(x)= 2x-4sqrt(x) ; I = [0,1] `
3
`f(x)= (x/(x-1))^3 : I = ]1,+infty[ `
Déterminer `fog` et `gof` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)=x^2+2 ` et `g(x)= sqrt(x-1) `
2
`f(x)=2x+3 ` et `g(x)= sqrt(x) `
3
`f(x)=x^2 ` et `g(x)=x/(x-4)`
4
`f(x)=x^3` et `g(x)=(2sqrt(x))/(x-1) `
Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative
1
`f(x)= x^3 `
2
`f(x)=-2x^3 `
3
`f(x)= 2x^2abs(x) `
Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative
1
`f(x)= x/(x-2) `
2
`f(x)= (2x+1)/(x-1) `
3
`f(x)= 2-1/x `
Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes , puis tracer sa courbe représentative
1
`f(x)= -2x^2+4x `
2
`g(x)= x^2+2x+3 `
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^2 -2abs(x) `
1
Vérifier que `f` est paire
2
Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` est croissante sur `[1,+infty[`
3
En déduire la monotonie de `f` sur chacun des intervalles `[-1,0] ` et `]-infty , -1]`
4
Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^3+3x `
1
Vérifier que `f` est impaire
2
Montrer que `f` est croissante sur `R^+`
3
En déduire la monotonie de `f` sur `R^-`
4
Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`
Etudier les variations de la fonction `f` sur les intervalle `I` et `J ` dans les cas suivants :
1
`f(x)=(2x)/(x-2) ` , `I = ]2,+infty[ , J =]-infty,2[ `
2
`f(x)=-2x^2+4x+1 ` , `I = [1,+infty[ , J =]-infty,1] `
1
Montrer que `3` est la valeur minimale absolue de la fonction `f : x-> 2x^2+4x+5 `
2
Montrer que `9` est la valeur maximale absolue de la fonction `g : x-> -2x^2+12x -9`
On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)= 2cos(2x) -5sinx +3 `
Montrer que `f` est bornée sur `R`
On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(5x^2+2)/(x^2+1) `
1) Montrer que `f` est majorée par `5 ` sur `R`
2) Montrer que `f` est minorée par `2 ` sur `R`
On considère la fonction numérique `f` définie sur `R` par `f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1) `
1) Montrer que `f` est majorée par `3/2 `
2) Montrer que `f` est minorée par `1/2 `
Etudions le signe de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :
1
`f(x)= -2x^2+x+1 `
2
`f(x)= x^2/(x-3) `
3
`f(x)= sqrt(x)(x-1) `
soit ` x , y ` deux réels positifs
Montrer que `[ sqrt(x)+sqrt(y) = (x+y+2)/2 ] => [ x= 1 text{ et } y = 1 ] `
1) Montrer que la suite `(u_n)` définie par `u_n = -7n +1 ` est arithmétique et déterminer sa raison
2) On considère la suite `(u_n)_{ n >= 1}` définie par `u_1 =0 ` et `u_(n+1)= (25)/(10 -u_n) ` pour tout ` n in N^(ast)`
On pose pour tout ` n in N^(ast) : v_n = 1/(u_n-5) `
Montrer que la suite `(v_n)` est arithmétique et déterminer sa raison `r`
On considère la suite numérique définie par `u_0= 1/4 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=2u_n^2 `
Montrer que `( forall n in N) : 0 < u_n < 1/2 `
Montrer que la suite `(a_n)` définie par ` a_n = n/(n+1) ` est majorée par `1 ` et minorée par `0 `
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 2 ` et `u_(n+1)=1/3u_n + 2 ` pour tout ` n in N `
1)
Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `
2)
Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -u_n =2/3(3-u_n) `
3)
Montrer que `( forall n in N ): u_(n+1) -3 =1/3(u_n-3) `
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et `u_(n+1)=u_n/(1+u_n)` pour tout ` n in N `
1) Calculer `u_1 , u_2,u_3 ,u_4 `
2) Vérifier que `( forall n in N ) : u_(n+1) -u_n = -u_n^2/(1+u_n) `
On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -sqrt(3)vec(j)` et `vec(v)(4,-3) ` , `vec(w)=vec(i) +mvec(j) ; m in R `
a) Calculer ` abs(abs(vec(u)))` , ` abs(abs(vec(v)))` , ` abs(abs(vec(w)))`
b) Déterminer les valeurs de `m` sachnat que ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(5)`
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