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On munit `R` d'une loi de composition interne définie par : `( forall (x,y) in R^2) : x ast y = x+y +1/2xy `

1 Montrer que la loi `ast` est associative

2 Montrer que `ast ` admet un élément neutre que l'on déterminera

3 Déterminer les éléments symétrisables pour la loi `ast`

4 Montrer que le symétrique de ` -1 ` est `2 ` et que le symétrique de ` 6` est `-3/2`


Solution

On considère l'ensemble :

1 Montrer que `xx` est une loi de composition interne sur ` A `

2 est ce que `(A , xx) ` admet un élément neutre ? Justifier


Solution

1 Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `R` par

`( forall (x,y) in R^2) xasty =2^(xy) `

2 Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `E= ZxxZ` par ` : (a,b) ast (x, y) = (ax ; ay +bx)`

3 Etudier la commutativité et l associativité de la loi de composition interne `ast` définie sur `C` par :

` ( forall (z, z') in C^2 ) z ast z' = izz' +2z +(1+i)z' + 2 `

4 on munit un ensemble `E` d'une loi de composition interne `ast` telle que

`( forall (x, y) in E^2) : xast(xasty)=(yastx)astx = y `

Montrer que la loi `ast ` est commutative


Solution

On considère l'ensemble

Montrer que `G` est une partie stable de `(M_3(R) , xx) `


Solution

1 Pour tout `x ` et `y ` dans `R-{1/2}` on pose `x ast y = x+y -2xy `

Montrer que `ast` est une loi de composition interne sur `R-{1/2}`

2 sur l intervalle `I =]-1,1[ ` on définit la relation `bot` par :

` forall (x, y) in I^2 : x bot y =(x+y)/(1+xy) `

la relation `bot` est elle une loi de composition interne sur `I` ? Justifier


Solution

Calculer les intégrales suivantes :

1 `int_2^3 1/(1-3x^2)^2dx `

2 `int_0^((pi)/4) (tanx)^3dx `

3 `int_0^1 x^3e^(x^2) dx `


Solution

Résoudre dans `R` :

1 `log(x+11) +log(x-4)= 2 `

2 `log(x)+1 = log(x+3) `

3 `(log(x+2))^2 -log(x+2) -2 >= 2 `


Solution

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1 `f(x)= lnabs(lnx)`

2 ` g(x)= x (lnx-2)^(1/3)`

3 ` h(x)= (x^2+2x)ln(x^2-4)`

4 ` k(x)= lnabs(cosx)`

5 ` u(x)= lnabs((2x-sqrt(x))/(x-3))`

6 `v(x)= ln((x^2-5x+4)/(abs(2x^2+3x+1)))`

7 `w(x)= ln(1/(2-lnx))`


Solution

Résoudre dans `R` les équations suivantes

1 `(lnx)^2 -5lnx +4 = 0 `

2 `(lnx)^3 -2(lnx)^2+3 = 0 `

3 `(lnx)^3 -6(lnx)^2 +11lnx -6 = 0 `


Solution

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes

1 `f(x)= sqrt(ln((x+1)/(1-x)) )`

2 `g(x)= 1/( ln(abs(x-2) -1))`

3 `h(x)= 1/(lnx)^3 +x/(ln(x+2))`


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= 2^x +2^(6/x) `

1 Calculer `f'(x) ` puis montrer que `f` est strictement décroissante sur `]0, sqrt(6)]` et strictement croissante sur `[sqrt(6) , +infty[ `

2 En déduire que l'équation `f(x)= 12 ` admet exactement deux solutions sur `]0,+infty[`


Solution

Déterminons les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

1 `f(x) = e^(sqrt(2x^2-x+5)) `

2 `g(x)=`

3 `h(x)= xe^((2x)/(x^2-1)) `

4 ` k(x)= (sinx)/e^(cos(2x))`


Solution

Résoudre dans `R` les équations et inéquations suivantes :

1 `exp(-x^2)= exp((3x+1)/(x-5))`

2 `exp(x^2+1/x^2)= exp(2)`

3 `exp(-x^2) > exp(-x)`

4 `exp(5x^2-7x +2)<= 1 `

5 `exp(1/(x+7) )<= exp(1/(x+7)^2 -12)`


Solution

1) En utilisant la formule d'intégration par parties déterminer toutes les primitives sur `R^(ast,+)` de la fonction `x-> x^2/(x^3+1)^2 lnx `

2) En utilisant deux fois l intégration par parties calculer `K(x)=int_1^x cos(lnt)dt `


Solution

1) Déterminer de deux façons différentes les racines carrés des nombres complexe `-sqrt(3) +i `

2) En déduire la valeur exacte de chacun de `cos((5pi)/(12)) , sin((5pi)/(12)) `


Solution

Déterminer la nature de l'application ` f ` du plan dans lui meme qui , à tout point `M(z)`, associe le point `M'(z')` telle que :

` z' = -2z +3-3i `


Solution

1 linéariser ` sin^4x `

2 Calculer la somme `S= sin^4((pi)/8) + sin^4((3pi)/8) + sin^4((5pi)/8) + sin^4((7pi)/8) `


Solution

On considère les nombres complexes `a = -sqrt(2)(1+i) ` et ` b = -sqrt(3) + i `

1 Déterminer les formes trigonométriques de `a ` et `b `

2 Montrer que `a^(12) +b^(12)= 0 `

3 Déterminer la forme trigonométrique de `Z= bar(a)*b^2 `


Solution

Soit ` a in R ` donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

1 `z_1 = cosa -isina `

2 `z_2 = -cosa +isina `

3 `z_3 = -cosa -isina `

4 `z_4 = sina + icosa `

5 `z_5 = sina - icosa `

6 `z_6 = -sina + icosa `

7 `z_7 = -sina - icosa `


Solution

Soit `theta` un réel de l intervalle `]-(pi)/2, 0[ `

Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe ` Z ` définie par `Z= sin(2theta) -2icos^2(theta)`


Solution

On considère le nombre complexe : ` j =-1/2+i(sqrt(3))/2 `

a) Montrer que pour tout ` n in Z ; ( j^(2n) -j^n ) in iR `

b) Montrer que pour tout `(a,b,c) in C^3 `: `a^3+b^3+c^3 -3abc = (a+b+c)(a+b*bar(j) +cj)(a+bj +cbar(j))`


Solution

1) soit `A,B,C` les points du plan d'affixes respectives `a= 3+7i ; b =4+5i , c= 2+i`

a) Déterminer l'affixe du point `G` barycentre du système pondéré `{ (A,2) ,(B,1) ,(C,1)}`

b) Déterminer l'affixe du point `H` barycentre du système pondéré `{ (A,1) ,(B,2) ,(C,1)}`

c) Déterminer l'ensemble des points `M(z)` du plan tels que ` abs(abs(2vec(MA) +vec(MB) +vec(MC))) = abs(abs(vec(MA) +2vec(MB) +vec(MC)))`


Solution

Soit `A,B,C` les points d'affixes respectives `z_a=-2+6i , z_b =4-3i , z_c =(2-3i) x ; x in R `

Montrer que ` (CD) text { // } (OC) `


Solution

Montrer que l'ensemble des points `M(z)` pour lesquels les points `B(i) , M(z) , M'(iz)` sont alignés est un cercle qu'on déterminera


Solution

Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

Déterminer tous les nombres complexes dans chacun des cas suivants :

1 ` iz^2 in R `

2 `z^2 +z+1 in R `

3 `(1-iz)/(1+z) in iR `

4 `(z-1)/(iz) in iR `

5 `(3+iz)/((1+i)z -1) in R `


Solution

soit `a > 0 ` et `b > 0 ` .

Montrer que ` arctana -arctanb = arctan((a-b)/(1+ab))`


Solution

I) Calculer :

1) ` S = arctan2 +arctan5+arctan8 `

2) `S_1 = arctan2+arctan3 `

II) Montrer que :

1) ` arctan(4/3)= 2arctan(1/2) `


Solution

Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation `(E) : x^5+x -1 = 0 `


Solution


Solution

1) Résoudre les équations différentielles suivantes :

1 : ` y'+4y -7 = 0 `

2 : ` y' = -9y +2 `

3 : ` 3y'+5y = 8 `

4 : ` y'' = -2y' + 3 `

2) Déterminer la solution `f` de l'équation différentielle `y' -6y = 3 ` vérifiant ` f(1/6)= 0 `

3) Déterminer la solution `g` de l'équation différentielle `y'=piy +sqrt(2) ` vérifiant ` g(0)= -1 `


Solution

calculer les limites suivantes:

1) `lim_{x to +infty}{3xsqrt(x^2+x)-3x^2+x}/{5sqrt(x^2+3)}`

2) `lim_{ x to 3}{sqrt(2x+3) -sqrt(x+6)}/{sqrt(x-1)-sqrt(8-2x)}`

3) `lim_{x to 2^+} {sqrt(x)+sqrt(x-2)-sqrt(2)}/{sqrt(x^2-4}`


Solution

écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `z= 1+1/sqrt(2)-1/sqrt(2) i`


Solution
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