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:
On munit `R` d'une loi de composition interne définie par : `( forall (x,y) in R^2) : x ast y = x+y +1/2xy `
1
Montrer que la loi `ast` est associative
2
Montrer que `ast ` admet un élément neutre que l'on déterminera
3
Déterminer les éléments symétrisables pour la loi `ast`
4
Montrer que le symétrique de ` -1 ` est `2 ` et que le symétrique de ` 6` est `-3/2`
On considère l'ensemble :
$$ A =[ \begin{pmatrix} \alpha &\beta \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}
( \alpha , \beta ) \in R^2 ] $$
1
Montrer que `xx` est une loi de composition interne sur ` A `
2
est ce que `(A , xx) ` admet un élément neutre ? Justifier
1
Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `R` par
`( forall (x,y) in R^2) xasty =2^(xy) `
2
Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `E= ZxxZ` par ` : (a,b) ast (x, y) = (ax ; ay +bx)`
3
Etudier la commutativité et l associativité de la loi de composition interne `ast` définie sur `C` par :
` ( forall (z, z') in C^2 ) z ast z' = izz' +2z +(1+i)z' + 2 `
4
on munit un ensemble `E` d'une loi de composition interne `ast` telle que
`( forall (x, y) in E^2) : xast(xasty)=(yastx)astx = y `
Montrer que la loi `ast ` est commutative
On considère l'ensemble
$$ G ={ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} ( a, b, c) \in R^3 } $$
Montrer que `G` est une partie stable de `(M_3(R) , xx) `
1
Pour tout `x ` et `y ` dans `R-{1/2}` on pose `x ast y = x+y -2xy `
Montrer que `ast` est une loi de composition interne sur `R-{1/2}`
2
sur l intervalle `I =]-1,1[ ` on définit la relation `bot` par :
` forall (x, y) in I^2 : x bot y =(x+y)/(1+xy) `
la relation `bot` est elle une loi de composition interne sur `I` ? Justifier
Calculer les intégrales suivantes :
1
`int_2^3 1/(1-3x^2)^2dx `
2
`int_0^((pi)/4) (tanx)^3dx `
3
`int_0^1 x^3e^(x^2) dx `
Résoudre dans `R` :
1
`log(x+11) +log(x-4)= 2 `
2
`log(x)+1 = log(x+3) `
3
`(log(x+2))^2 -log(x+2) -2 >= 2 `
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes
1
`f(x)= lnabs(lnx)`
2
` g(x)= x (lnx-2)^(1/3)`
3
` h(x)= (x^2+2x)ln(x^2-4)`
4
` k(x)= lnabs(cosx)`
5
` u(x)= lnabs((2x-sqrt(x))/(x-3))`
6
`v(x)= ln((x^2-5x+4)/(abs(2x^2+3x+1)))`
7
`w(x)= ln(1/(2-lnx))`
Résoudre dans `R` les équations suivantes
1
`(lnx)^2 -5lnx +4 = 0 `
2
`(lnx)^3 -2(lnx)^2+3 = 0 `
3
`(lnx)^3 -6(lnx)^2 +11lnx -6 = 0 `
Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes
1
`f(x)= sqrt(ln((x+1)/(1-x)) )`
2
`g(x)= 1/( ln(abs(x-2) -1))`
3
`h(x)= 1/(lnx)^3 +x/(ln(x+2))`
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= 2^x +2^(6/x) `
1
Calculer `f'(x) ` puis montrer que `f` est strictement décroissante sur `]0, sqrt(6)]` et strictement croissante sur `[sqrt(6) , +infty[ `
2
En déduire que l'équation `f(x)= 12 ` admet exactement deux solutions sur `]0,+infty[`
Déterminons les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes
1
`f(x) = e^(sqrt(2x^2-x+5)) `
2
`g(x)=`
$$ e^{\frac{2}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}} $$
3
`h(x)= xe^((2x)/(x^2-1)) `
4
` k(x)= (sinx)/e^(cos(2x))`
Résoudre dans `R` les équations et inéquations suivantes :
1
`exp(-x^2)= exp((3x+1)/(x-5))`
2
`exp(x^2+1/x^2)= exp(2)`
3
`exp(-x^2) > exp(-x)`
4
`exp(5x^2-7x +2)<= 1 `
5
`exp(1/(x+7) )<= exp(1/(x+7)^2 -12)`
1) En utilisant la formule d'intégration par parties déterminer toutes les primitives sur `R^(ast,+)` de la fonction `x-> x^2/(x^3+1)^2 lnx `
2) En utilisant deux fois l intégration par parties calculer `K(x)=int_1^x cos(lnt)dt `
1) Déterminer de deux façons différentes les racines carrés des nombres complexe `-sqrt(3) +i `
2) En déduire la valeur exacte de chacun de `cos((5pi)/(12)) , sin((5pi)/(12)) `
Déterminer la nature de l'application ` f ` du plan dans lui meme qui , à tout point `M(z)`, associe le point `M'(z')` telle que :
` z' = -2z +3-3i `
1
linéariser ` sin^4x `
2
Calculer la somme `S= sin^4((pi)/8) + sin^4((3pi)/8) + sin^4((5pi)/8) + sin^4((7pi)/8) `
On considère les nombres complexes `a = -sqrt(2)(1+i) ` et ` b = -sqrt(3) + i `
1
Déterminer les formes trigonométriques de `a ` et `b `
2
Montrer que `a^(12) +b^(12)= 0 `
3
Déterminer la forme trigonométrique de `Z= bar(a)*b^2 `
Soit ` a in R ` donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :
1
`z_1 = cosa -isina `
2
`z_2 = -cosa +isina `
3
`z_3 = -cosa -isina `
4
`z_4 = sina + icosa `
5
`z_5 = sina - icosa `
6
`z_6 = -sina + icosa `
7
`z_7 = -sina - icosa `
Soit `theta` un réel de l intervalle `]-(pi)/2, 0[ `
Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe ` Z ` définie par `Z= sin(2theta) -2icos^2(theta)`
On considère le nombre complexe : ` j =-1/2+i(sqrt(3))/2 `
a) Montrer que pour tout ` n in Z ; ( j^(2n) -j^n ) in iR `
b) Montrer que pour tout `(a,b,c) in C^3 `: `a^3+b^3+c^3 -3abc = (a+b+c)(a+b*bar(j) +cj)(a+bj +cbar(j))`
1) soit `A,B,C` les points du plan d'affixes respectives `a= 3+7i ; b =4+5i , c= 2+i`
a) Déterminer l'affixe du point `G` barycentre du système pondéré `{ (A,2) ,(B,1) ,(C,1)}`
b) Déterminer l'affixe du point `H` barycentre du système pondéré `{ (A,1) ,(B,2) ,(C,1)}`
c) Déterminer l'ensemble des points `M(z)` du plan tels que ` abs(abs(2vec(MA) +vec(MB) +vec(MC))) = abs(abs(vec(MA) +2vec(MB) +vec(MC)))`
Soit `A,B,C` les points d'affixes respectives `z_a=-2+6i , z_b =4-3i , z_c =(2-3i) x ; x in R `
Montrer que ` (CD) text { // } (OC) `
Montrer que l'ensemble des points `M(z)` pour lesquels les points `B(i) , M(z) , M'(iz)` sont alignés est un cercle qu'on déterminera
Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `
Déterminer tous les nombres complexes dans chacun des cas suivants :
1
` iz^2 in R `
2
`z^2 +z+1 in R `
3
`(1-iz)/(1+z) in iR `
4
`(z-1)/(iz) in iR `
5
`(3+iz)/((1+i)z -1) in R `
soit `a > 0 ` et `b > 0 ` .
Montrer que ` arctana -arctanb = arctan((a-b)/(1+ab))`
I) Calculer :
1) ` S = arctan2 +arctan5+arctan8 `
2) `S_1 = arctan2+arctan3 `
II) Montrer que :
1) ` arctan(4/3)= 2arctan(1/2) `
Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation `(E) : x^5+x -1 = 0 `
1) Résoudre les équations différentielles suivantes :
1
: ` y'+4y -7 = 0 `
2
: ` y' = -9y +2 `
3
: ` 3y'+5y = 8 `
4
: ` y'' = -2y' + 3 `
2) Déterminer la solution `f` de l'équation différentielle `y' -6y = 3 ` vérifiant ` f(1/6)= 0 `
3) Déterminer la solution `g` de l'équation différentielle `y'=piy +sqrt(2) ` vérifiant ` g(0)= -1 `
calculer les limites suivantes:
1) `lim_{x to +infty}{3xsqrt(x^2+x)-3x^2+x}/{5sqrt(x^2+3)}`
2) `lim_{ x to 3}{sqrt(2x+3) -sqrt(x+6)}/{sqrt(x-1)-sqrt(8-2x)}`
3) `lim_{x to 2^+} {sqrt(x)+sqrt(x-2)-sqrt(2)}/{sqrt(x^2-4}`
écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `z= 1+1/sqrt(2)-1/sqrt(2) i`
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