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:
On considère la fonction ` f ` dont la courbe dans un repère orthonormé est donnée ci dessous
1
Déterminer domaine de définition de `f `
2
Calculer `lim_{ x to 2^+} f(x) ` et `lim_{ x to 2^-} f(x) `
3
Etudier la continuité à droite et à gauche de `f` au point `x_0= 2 `
Dans chacun des cas suivants étudier la continuité de la fonction `f` sur `D_f`
1
: `f(x)= sin((2x+1)/(x^2-1))`
2
: `f(x)= sqrt((x-3)/(x+2))`
3
: `f(x)= sqrt(2abs(x)-3)`
4
: `f(x)= cos(sqrt(x^2+1))`
5
: `f(x)=sqrt(1-sinx)`
6
: `f(x)=cos(tan^2x) `
7
` f(x)= abs(x)sqrt(x^2-x+1) `
Dans chacun des cas suivants , montrer que `f` est continue sur son domaine de définition
a
`f(x)= (4x+5)/(x^2+3)sinx `
b
`f(x)=abs(2x-3) +(x+1)/(x^2+x+1) `
c
`f(x)= x^2-tanx-1 `
2) Montrer que la fonction `g` définie par `g(x)=(sqrt(x-2))/(4-x)` est continue sur `[2,4[`
Soit `Omega` un univers et `p` une probabilité définie sur `Omega` on considère deux événements ` A ` et `B` tels que
`p(A)= 1/2 ` , `p(B)= 5/(12) ` , `p(A cup B)= 3/4 `
Calculer `p(bar(A))` , `p(A cap B) ` , `p (bar(A) cap bar(B)) ` ; `p( A cap bar(B))` , `p (A cup bar(B))`
On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite
1
Citer la liste de tous les résultats possibles en notant `P` pour pile `F` pour face
2
Donner la probabilité de chacun des événements suivants
` A : text{ le tirage ne comporte que des piles }`
`B : text{ le tirage comporte au moins une fois face } `
un dé cubique truqué est tel que la probabilité `p_k` de sortie du numéro `k` est proportionnelle à `k `
On lance ce dé et on considère les événements
` A : text{ le numéro est pair } `
`B : text{ le numéro est supérieur ou égal à trois }`
Calculer `p_k ` pour chaque ` k in { 1, 2, 3 ....6}` puis en déduire les probabilités `P(A) ` et `P(B)`
On considère la fonction `f` définie sur `]-1/2, +infty[ ` par `f(x)= (3x+1)/(2x+1)^2 `
a) Déterminer les réels `a , b ` tels que pour tout ` x in ]-1/2, +infty[ : f(x)= a/(2x+1) + b/(2x+1)^2 `
b) En déduire les fonctions primitives de `f` sur l intervalle `]-1/2, +infty[`
c) Déterminer la primitive `F` de la fonction ` f ` sur l intervalle `]-1/2, +infty[` qui s'annule en ` 0 `
1
`lim_{ x to 0^+} x^(1/3)lnx`
2
`lim_{ x to 0^+} (lnx)/(x^(1/5))`
3
`lim_{ x to +infty} x ln((x-1)/(x+1))`
4
`lim_{ x to +infty} (ln(x^(2017) +x+1))/x`
5
`lim_{ x to 0^+} (lnx)/(lnx+3)`
6
`lim_{ x to -infty} sqrt(x^2ln(1+4/x^2))`
7
`lim_{ x to +infty} (lnx)/(ln(abs(x^2-1)))`
8
`lim_{ x to 3} (2x)/(x-3)ln(x/3)`
9
`lim_{ x to +infty} (x^2 -7x -5lnx) `
10
`lim_{ x to 0^-} xln(x^2-3x)`
Déterminer domaine de définition de chacune des fonctions suivantes
1
`f(x)= (3lnx -4)/(lnx+5) `
2
`g(x)= sqrt(lnx -2) `
3
` h(x)= (sqrt(1-lnx))/(1+lnx) `
4
` k(x)= sqrt((1-lnx)/(1+lnx)) `
Résoudre dans `R` les équations suivantes :
1
` (E_1) : -5*4^(x+1) +2*4^(-x) = 3 `
2
` (E_2) : 3^x -5sqrt(3^x) +4 = 0 `
3
` (E_3) : 9^(2x+1) = (36)/6^x `
4
` (E_4) : 9^x +2*3^x -8 = 0 `
5
` (E_4) : 3^(-x) = 4^(1-2x) `
Soit `f` la fonction définie sur l'intervalle `]0,+infty[` par `f(x)= x-(lnx)^2`
On note `C_f` la courbe représentative de `f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))` avec `abs(abs(vec(i)) ) = 2cm `
1) a) Montrer que `H : x->xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `ln` sur `]0,+infty[`
b) Montrer que `int_1^e lnx dx = 1 `
2) En utilisant une intégration par parties , montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `
3) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y = x ` et les droites d'équations cartésiennes `
x= 1 ` et `x = e `
Par intégration par parties Calculer les intégrales suivantes :
1) `I_1 = int_1^(ln2) xe^x dx `
2) `I_2 = int_(-2)^1 x sqrt(2-x) dx `
3) `I_3 = int_1^4 (lnx)/(sqrt(x)) dx `
4) `I_4 =int_(0)^((pi)/6) x/(cos^2x) dx `
5) ` I_5 = int_0^1 (1+e^x)ln(x+e^x) dx `
6) ` I_6 = int_1^e (lnx)/x^2 dx `
7) ` I_7= int_0^(ln3) e^(2x)/(1+e^x)^2 dx `
8) `I_8 =int_1^(ln2) (x^2+1)e^(-x) dx `
9) `I_9 =int_0^(pi) e^(-x)sinx dx `
10) `I_10= int_0^1(2x+1)3^x dx `
Dans le plan complexe on considère la transformation `T` qui transforme tout point `M` du plan d'affixe `z` en le point `M'` d'affixe `z'` tel que `z' = (sqrt(2))/2(1+i)z +sqrt(2) +(2-sqrt(2))i `
1
Déterminer l'affixe du point `Omega` invariant par `T`
2
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation `T `
Résoudre dans `C` les équations suivantes :
1
`(2iz+3)^2 +25 = 0 `
2
` (z^2 +z+1)(3z^2-4z+2) = 0 `
3
` (z-8)/(z+2)= z `
4
` z^4 -z^2 -2 = 0 `
Résoudre dans `C` les équations suivantes :
1
`z^2 -10z +29 = 0 `
2
` z^2 -3z +3 = 0 `
3
` z^2 +2sqrt(5) +7 = 0 `
4
` 3z^2 +2z +17 = 0 `
5
` 4z^2 +9 = 0 `
6
`z^2 -(1+sqrt(2))z +sqrt(2)= 0 `
7
`z^3 -8 = 0 `
Etudier la continuité au point ` 0 ` de la fonction `f` définie par
`f(x)= (sqrt(1-cos^2x))/(sinx) ; x ne 0 `
` f(0) = 0 `
$$ \text{Calculer les limites suivantes: } $$
$$ \lim_{ x\to 0 } { \frac{\sqrt[3]{x+1} -1}{\sqrt[4]{x+1}-1}} $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt{x^2+1} -\sqrt[3]{x^2+1} } $$
On considère la fonction `f` définie par
`f(x)= x^2/(abs(x)) text{ si } x ne 0 `
`f(0)= 0 `
1) Donner une expression de `f` sans valeur absolue
2) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) , lim_{ x to 0^-} f(x) `
3) `f` est elle continue au point `0 `
1) Etudier la continuité de la fonction `f` au point `1`
`f(x)= (x^2-1)/(x-1) text{ si } x ne 1 `
`f(1)= 2 `
2) Etudier la continuité de la fonction `g` au point `3`
`g(x)= (x^3-27)/(x-3) text{ si } x ne 3 `
`g(3)= 8 `
3) Etudier la continuité de la fonction `h` au point `0 `
`h(x)= (sqrt(1+x) -sqrt(1-x))/x `
`h(0) = 1/2 `
Calculer les limites suivantes :
1) `lim_{ x to -infty} x/(sqrt(x^2+1)) `
2) `lim_{ x to 0} (cosx+sinx-1)/x `
3) `lim_{ x to 1} (xsqrt(x)-1)/(x-1)`
4) `lim_{ x to (pi)/4} (1-sqrt(2)cosx)/(1-sqrt(2)sinx) `
5) `lim_{ x to -1} (x^4-x^2 +x+1)/(x+1) `
6) `lim_{ x to 0} (cosx -sqrt(cos(2x)))/(sin^2x) `
7) `lim_{ x to +infty} xsqrt(x/(x-1)) -x -1 `
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