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Soit `Omega` un univers et `p` une probabilité définie sur `Omega` on considère deux événements ` A ` et `B` tels que

`p(A)= 1/2 ` , `p(B)= 5/(12) ` , `p(A cup B)= 3/4 `

Calculer `p(bar(A))` , `p(A cap B) ` , `p (bar(A) cap bar(B)) ` ; `p( A cap bar(B))` , `p (A cup bar(B))`


Solution

On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite

1 Citer la liste de tous les résultats possibles en notant `P` pour pile `F` pour face

2 Donner la probabilité de chacun des événements suivants

` A : text{ le tirage ne comporte que des piles }`

`B : text{ le tirage comporte au moins une fois face } `


Solution

un dé cubique truqué est tel que la probabilité `p_k` de sortie du numéro `k` est proportionnelle à `k `

On lance ce dé et on considère les événements

` A : text{ le numéro est pair } `

`B : text{ le numéro est supérieur ou égal à trois }`

Calculer `p_k ` pour chaque ` k in { 1, 2, 3 ....6}` puis en déduire les probabilités `P(A) ` et `P(B)`


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `]-1/2, +infty[ ` par `f(x)= (3x+1)/(2x+1)^2 `

a) Déterminer les réels `a , b ` tels que pour tout ` x in ]-1/2, +infty[ : f(x)= a/(2x+1) + b/(2x+1)^2 `

b) En déduire les fonctions primitives de `f` sur l intervalle `]-1/2, +infty[`

c) Déterminer la primitive `F` de la fonction ` f ` sur l intervalle `]-1/2, +infty[` qui s'annule en ` 0 `


Solution

1 `lim_{ x to 0^+} x^(1/3)lnx`

2 `lim_{ x to 0^+} (lnx)/(x^(1/5))`

3 `lim_{ x to +infty} x ln((x-1)/(x+1))`

4 `lim_{ x to +infty} (ln(x^(2017) +x+1))/x`

5 `lim_{ x to 0^+} (lnx)/(lnx+3)`

6 `lim_{ x to -infty} sqrt(x^2ln(1+4/x^2))`

7 `lim_{ x to +infty} (lnx)/(ln(abs(x^2-1)))`

8 `lim_{ x to 3} (2x)/(x-3)ln(x/3)`

9 `lim_{ x to +infty} (x^2 -7x -5lnx) `

10 `lim_{ x to 0^-} xln(x^2-3x)`


Solution

Déterminer domaine de définition de chacune des fonctions suivantes

1 `f(x)= (3lnx -4)/(lnx+5) `

2 `g(x)= sqrt(lnx -2) `

3 ` h(x)= (sqrt(1-lnx))/(1+lnx) `

4 ` k(x)= sqrt((1-lnx)/(1+lnx)) `


Solution

Résoudre dans `R` les équations suivantes :

1 ` (E_1) : -5*4^(x+1) +2*4^(-x) = 3 `

2 ` (E_2) : 3^x -5sqrt(3^x) +4 = 0 `

3 ` (E_3) : 9^(2x+1) = (36)/6^x `

4 ` (E_4) : 9^x +2*3^x -8 = 0 `

5 ` (E_4) : 3^(-x) = 4^(1-2x) `


Solution

Soit `f` la fonction définie sur l'intervalle `]0,+infty[` par `f(x)= x-(lnx)^2`

On note `C_f` la courbe représentative de `f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))` avec `abs(abs(vec(i)) ) = 2cm `

1) a) Montrer que `H : x->xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `ln` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que `int_1^e lnx dx = 1 `

2) En utilisant une intégration par parties , montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `

3) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y = x ` et les droites d'équations cartésiennes `
x= 1 ` et `x = e `


Solution

Par intégration par parties Calculer les intégrales suivantes :

1) `I_1 = int_1^(ln2) xe^x dx `

2) `I_2 = int_(-2)^1 x sqrt(2-x) dx `

3) `I_3 = int_1^4 (lnx)/(sqrt(x)) dx `

4) `I_4 =int_(0)^((pi)/6) x/(cos^2x) dx `

5) ` I_5 = int_0^1 (1+e^x)ln(x+e^x) dx `

6) ` I_6 = int_1^e (lnx)/x^2 dx `

7) ` I_7= int_0^(ln3) e^(2x)/(1+e^x)^2 dx `

8) `I_8 =int_1^(ln2) (x^2+1)e^(-x) dx `

9) `I_9 =int_0^(pi) e^(-x)sinx dx `

10) `I_10= int_0^1(2x+1)3^x dx `


Solution

Dans le plan complexe on considère la transformation `T` qui transforme tout point `M` du plan d'affixe `z` en le point `M'` d'affixe `z'` tel que `z' = (sqrt(2))/2(1+i)z +sqrt(2) +(2-sqrt(2))i `

1 Déterminer l'affixe du point `Omega` invariant par `T`

2 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation `T `


Solution

Résoudre dans `C` les équations suivantes :

1 `(2iz+3)^2 +25 = 0 `

2 ` (z^2 +z+1)(3z^2-4z+2) = 0 `

3 ` (z-8)/(z+2)= z `

4 ` z^4 -z^2 -2 = 0 `


Solution

Résoudre dans `C` les équations suivantes :

1 `z^2 -10z +29 = 0 `

2 ` z^2 -3z +3 = 0 `

3 ` z^2 +2sqrt(5) +7 = 0 `

4 ` 3z^2 +2z +17 = 0 `

5 ` 4z^2 +9 = 0 `

6 `z^2 -(1+sqrt(2))z +sqrt(2)= 0 `

7 `z^3 -8 = 0 `


Solution

On considère la fonction `h` définie sur `[1,+infty[` par `h(x)= x -2sqrt(x) `

1) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1) ` définie sur un intervalle `J ` à déterminer

2) Résoudre dans `[1, +infty[ ` chacune des deux équations `E_1 : h(x)= 0 ` et `E_2 : h(x)= 3 `

3) Montrer que `h^(-1) ` est dérivable en `0` et en `3` puis calculer `(h^(-1))'(0)` , `(h^(-1))'(3)`

4) Calculer `h^(-1)(x) ` pour tout ` x in J `

5) Montrer que `h^(-1) ` est dérivable sur `]-1, +infty[ ` et définir `(h^(-1))' `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `[0,(pi)/2]` par `f(x)= x + sqrt(sinx)`

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1) ` définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Montrer que `f^(-1)` est dérivable sur `J-{0}`

3) Montrer que `f^(-1)` est dérivable à droite au point `0 `


Solution

On considère la fonction `g` définie sur `]0,1/4[ `par `g(x)= (1-2sqrt(x))^3 `

1) Montrer que la fonction `g` admet une fonction réciproque `g^(-1) ` définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Calculer `g(1/(16))` et en déduire la valeur de `(g^(-1))'(1/8) `


Solution

Soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[ ` par `f(x)= x+1 +sqrt(x) `

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Montrer que `f^(-1)` est dérivable en `3 ` et calculer `(f^(-1))'(3) `


Solution

Etudier la continuité au point ` 0 ` de al fonction `f` définie par

`f(x)= (sqrt(1-cos^2x))/(sinx) ; x ne 0 `

` f(0) = 0 `


Solution








Solution

On considère la fonction `f` définie par

`f(x)= x^2/(abs(x)) text{ si } x ne 0 `

`f(0)= 0 `

1) Donner une expression de `f` sans valeur absolue

2) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) , lim_{ x to 0^-} f(x) `

3) `f` est elle continue au point `0 `


Solution

1) Etudier la continuité de la fonction `f` au point `1`

`f(x)= (x^2-1)/(x-1) text{ si } x ne 1 `

`f(1)= 2 `

2) Etudier la continuité de la fonction `g` au point `3`

`g(x)= (x^3-27)/(x-3) text{ si } x ne 3 `

`g(3)= 8 `

3) Etudier la continuité de la fonction `h` au point `0 `

`h(x)= (sqrt(1+x) -sqrt(1-x))/x `

`h(0) = 1/2 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to -infty} x/(sqrt(x^2+1)) `

2) `lim_{ x to 0} (cosx+sinx-1)/x `

3) `lim_{ x to 1} (xsqrt(x)-1)/(x-1)`

4) `lim_{ x to (pi)/4} (1-sqrt(2)cosx)/(1-sqrt(2)sinx) `

5) `lim_{ x to -1} (x^4-x^2 +x+1)/(x+1) `

6) `lim_{ x to 0} (cosx -sqrt(cos(2x)))/(sin^2x) `


Solution


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