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:
1
1) Déterminer une équation cartésienne du plan `P` passant par le point `A(-1, 2, 3) ` et perpendiculaire sur la droite `(Delta)` de représentation paramétrique
$$ (\Delta) \begin{cases} x= 1-2t \\ \\ y = t \\ \\ z = -1+ t \\ \\ \end{cases} t \in R $$
2) Déterminer les coordonnées du point `I` intersection de `(Delta)` et `(P) `
2
1
Pour tout ` z in C ` on pose `f(z)= z^2 -z+2 `
Déterminer tous les complexes `z ` tels que ` f(z) in R `
2
Soit `z` un complexe différent de ` -i ` montrer que `1/(z+i) in R <=>Im(z) = -1 `
3
Résoudre les systèmes suivants :
`(S_1)`
$$ \begin{cases} x+y= 25 \\ logx+logy = 2 \end{cases} $$
`(S_2)`
$$ \begin{cases} xy= 100 \\ 2log^2x+2log^2y =5 \end{cases} $$
4
Soit `f` la fonction numérique définie sur `I= [4,+infty[` par `f(x)= x/(sqrt(x) -1) `
1) Etudier les variations de la fonction `f`
2) Montrer que `forall x in I : f(x) <= x `
3) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 5 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)`
a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n >= 4 `
b) Montrer qua le suite `(u_n)` est décroissante
c) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite
5
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=(7u_n+6)/(u_n+2)`
a
Montrer par récurrence que `( forall n in N) : u_n > 0 `
b
Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -6) <= 1/2abs(u_n -6) `
c
Montrer que par récurrence que ` forall n in N : abs(u_n -6) <= 5(1/2)^n `
d
Montrer que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite
6
On considère la suite `(u_n)_(n>=1)` définie par `forall n in N^(ast) : u_n = -5 +((-1)^ncosn)/(n+1)`
1
Montrer que `(forall n in N^(ast)) : abs(u_n +5) <= 1/n `
2
EN déduire que la suite `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite
7
Soit `Omega` un univers et `p` une probabilité définie sur `Omega` on considère deux événements ` A ` et `B` tels que
`p(A)= 1/2 ` , `p(B)= 5/(12) ` , `p(A cup B)= 3/4 `
Calculer `p(bar(A))` , `p(A cap B) ` , `p (bar(A) cap bar(B)) ` ; `p( A cap bar(B))` , `p (A cup bar(B))`
8
On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite
1
Citer la liste de tous les résultats possibles en notant `P` pour pile `F` pour face
2
Donner la probabilité de chacun des événements suivants
` A : text{ le tirage ne comporte que des piles }`
`B : text{ le tirage comporte au moins une fois face } `
9
un dé cubique truqué est tel que la probabilité `p_k` de sortie du numéro `k` est proportionnelle à `k `
On lance ce dé et on considère les événements
` A : text{ le numéro est pair } `
`B : text{ le numéro est supérieur ou égal à trois }`
Calculer `p_k ` pour chaque ` k in { 1, 2, 3 ....6}` puis en déduire les probabilités `P(A) ` et `P(B)`
10
1
`lim_{ x to 0^+}`
$$\sqrt[3]{x} lnx $$
2
`lim_{ x to 0^+} `
$$\frac{lnx}{\sqrt[5]{x}}$$
3
`lim_{ x to +infty} x ln((x-1)/(x+1))`
4
`lim_{ x to +infty} (ln(x^(2017) +x+1))/x`
5
`lim_{ x to 0^+} (lnx)/(lnx+3)`
6
`lim_{ x to -infty} sqrt(x^2ln(1+4/x^2))`
7
`lim_{ x to +infty} (lnx)/(ln(abs(x^2-1)))`
8
`lim_{ x to 3} (2x)/(x-3)ln(x/3)`
9
`lim_{ x to +infty} (x^2 -7x -5lnx) `
10
`lim_{ x to 0^-} xln(x^2-3x)`
11
Soit `f` la fonction définie sur l'intervalle `]0,+infty[` par `f(x)= x-(lnx)^2`
On note `C_f` la courbe représentative de `f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))` avec `abs(abs(vec(i)) ) = 2cm `
1) a) Montrer que `H : x->xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `ln` sur `]0,+infty[`
b) Montrer que `int_1^e lnx dx = 1 `
2) En utilisant une intégration par parties , montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `
3) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y = x ` et les droites d'équations cartésiennes `
x= 1 ` et `x = e `
12
Résoudre dans `C` les équations suivantes :
1
`z^2 -10z +29 = 0 `
2
` z^2 -3z +3 = 0 `
3
` z^2 +2sqrt(5) +7 = 0 `
4
` 3z^2 +2z +17 = 0 `
5
` 4z^2 +9 = 0 `
6
`z^2 -(1+sqrt(2))z +sqrt(2)= 0 `
7
`z^3 -8 = 0 `
13
1) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe `z = (2+isqrt(3))(3-4i) +(1+1/2i)^2 `
2) Déterminer la forme algébrique du nombres complexe `u = 1/z -1/(z')` sachant que ` z= 1-3i ` et `z'=3/2 +5i`
3) Pour tout `z in C ` on pose `f(z)=z^2-z+2 ` .Déterminer tous les nombres complexes tels que `f(z) in R `
4) soit `z in C-{ -i}` montrer que `1/(z+i) in R <=> Imz = -1 `
14
1) Soit `(u_n)` une suite géométrique de raison ` q= 2/5 ` et de premier terme `u_0 = 3 `
a) Exprimer `u_n` en fonction de `n`
b) Exprimer `S_n = u_0+u_1+.....u_n ` en fonction de `n`
2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0 = 1 ` et pour tout ` n in N u_(n+1)= (2n+1)/(4n+6) u_n `
a) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 < u_n <= 1 `
b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante
3) soit `(v_n)` la suite définie pour tout ` n in N ` par ` v_n = (2n+1)u_n `
a) Montrer que `(v_n)` est géométrique , Préciser la raison et le premier terme
b) Exprimer `v_n` puis `u_n` en fonction de `n `
4) pour tout ` n in N^(ast)` on pose `S_n = v_1+v_2 +.....v_(n-1) `
Exprimer `S_n` en fonction de ` n `
15
1) Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison ` r = 4 ` et de premier terme `u_0 = -6 `
a) Exprimer `u_n` en fonction de `n` puis en déduire `u_(56)`
b) Calculer ` S_n = u_0 +u_1+......u_n ` en fonction de `n`
2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par ` u_0 = 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)= (7u_n -25)/(u_n-3) `
pour tout ` n in N ` on pose ` v_n = 1/(u_n-5) `
a) Montrer que `(v_n)` est arithmétique , Préciser la raison et le premier terme
b) Exprimer ` v_n` puis `u_n` en fonction de ` n `
16
$$ \text{Calculer les limites suivantes: } $$
$$ \lim_{ x\to 0 } { \frac{\sqrt[3]{x+1} -1}{\sqrt[4]{x+1}-1}} $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt{x^2+1} -\sqrt[3]{x^2+1} } $$
17
Calculer les limites suivantes :
1) `lim_{ x to -infty} x/(sqrt(x^2+1)) `
2) `lim_{ x to 0} (cosx+sinx-1)/x `
3) `lim_{ x to 1} (xsqrt(x)-1)/(x-1)`
4) `lim_{ x to (pi)/4} (1-sqrt(2)cosx)/(1-sqrt(2)sinx) `
5) `lim_{ x to -1} (x^4-x^2 +x+1)/(x+1) `
6) `lim_{ x to 0} (cosx -sqrt(cos(2x)))/(sin^2x) `
7) `lim_{ x to +infty} xsqrt(x/(x-1)) -x -1 `
18
Calculer les limites suivantes :
1) `lim_{ x to + infty} {sinx}/x`
2) `lim_{ x to + infty} {cosx}/x`
3) `lim_{ x to 0} {cosx}/x`
4) ` lim_{ x to 2 } {sin(x-2)}/{3x-6} `
5) `lim_{ x to 0} {xcosx-x}/sin^3x`
6) `lim_{ x to -infty} {2x+sinx}/{3-sinx}`
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