Préparation aux concours
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Exercices et corrections
54%
Contenu pour les Sciences Maths ( 1 & 2 BAC)
4 ans
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Exercice 1 bac 20022
Partie A
1) Vérifier que ` forall x >= 0 : 0 <= 1-x+x^2 - 1/(1+x) <= x^3 `
2) Montrer que ` forall x >= 0 : 0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `
Partie B
On considère la fonction `f` définie sur `I = [0,+infty[ ` par `f(0)= 1/2 ` et pour tout ` x > 0 : f(x)= (x-ln(1+x))/x^2 `
1a) Montrer que `f` est continue à droite au point `0`
1b) Montrer que `f` est dérivable à droite au point `0`
1c) Calculer `lim_{ x to +infty} ` puis donner l'interprétation au résultat obtenu
2) a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= -(g(x))/x^ 3 ` avec ` g(x) =x+x/(x+1) -2ln(1+x) `
b) Montrer que ` forall x in I : 0 <= g'(x) <= x^2 `
c) EN déduire que ` forall x in I : 0 <= g(x) <= x^3/3`
d) Déterminer le sens de variation de `f` sur `I `
3a) Dresser le tableau des variations de `f`
b) Tracer la courbe `C_f`
Partie C
1) Montrer ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `
2) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=1/3 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n) `
a) Montrer que ` forall n in N : u_n in [0,1] `
b) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3 abs(u_n -alpha) `
c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `
d) En déduire que la suite `(u_n )` converge vers `alpha `
Partie D
Pour tout ` x in I ` on pose `F(x)= int_x^1 f(t)dt `
1) Montrer que `F` et dérivable sur `I` , puis calculer `F'(x) ` pour tout ` x in I `
2) En utilisant la technique d'intégration par parties montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : F(x)= 2ln2 -(1+1/x)ln(1+x) `
3) Calculer `lim_{ x to 0^+} F(x) ` puis montrer que `int_0^1 f(t) dt = 2ln2 -1 `
4) Calculer en unité de `cm^2 ` l'air du domaine délimité par la courbe `C_f ` , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées , et la droite d'équation ` x= 1 `
Partie E
On pose pour tout ` k in N : Delta_k = f(k) -int_k^(k+1) f(t) dt ` et pour tout ` n in N^(ast) :S_n = sum_{k=0}^(n-1) Delta_k `
1-a) Vérifier que ` forall k in N : 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `
b) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= S_n <= 1/2 `
2a) Montrer que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est monotone
b) En déduire que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est convergente
c) Montrer que la limite `l` de la suite `(S_n)_(n >= 1) ` vérifie `3/2 -2ln2 <= l <= 1/2 `
Exercice 3 ) BAC 2022
Soit `n` un entier naturel strictement supérieur à ` 1 `
On considère dans `N^2 ` l'équation `(E_n) : (x+1)^n -x^n = ny `
Soit `(x, y) ` une solution de `(E_n) ` et soit `p` le plus petit diviseur premier de ` n `
1) a) Montrer que `(x+1)^n = x^n [p] `
b) Montrer que `p` est premier avec `x ` et avec `x+1 `
c) En déduire que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `
2) Montrer que si `n` est pair alors `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2 `
3) On suppose que `n` est impair
a) Montrer ` exists (u, v) in Z^2 : n*u +(p-1)v = 1 ` : ` text{ on rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n } `
b) soit `q ` et `r ` le quotient et le reste de a division euclidienne de `u ` par ` q-1 `
Vérifier que ` nr = 1 -(p-1) ( v+nq) `
c) On pose ` v' = -(v+nq) ` montrer que ` v ' >= 0 `
d) Montrer que l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2`
Problème 4 bac 2022
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x(e^(x/2)-1)^2 ` et `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` , `abs(abs(vec(i))) = 1cm `
1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` , `lim_{ x to -infty} f(x) `
2) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x` et interpréter géométriquement le résultat
3)a) Montrer que la droite `(Delta) : y = x ` est asymptote à la courbe `C_f ` au voisinage de `-infty `
b) Etudier le signe de `(f(x) -x)` sur `R` et en déduire la position relative de la droite `(Delta)` et la courbe `(C_f) `
4) a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= (e^(x/2)-1)^2 + xe^(x/2)(e^(x/2) -1) `
b) Vérifier que pour tout ` x in R : x(e^(x/2) -1) >= 0 ` puis déterminer le signe de `f'(x) ` sur `R `
c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `R `
5a) Montrer que ` forall x in R : f''(x)= 1/2e^(x/2)g(x) ` avec `g(x)= (2x+4)e^(x/2) -x-4 ; x in R `
b) à partir de la courbe `C_g ` déterminer le signe de `g(x) ` sur `R ` ( Remarquer que `g(alpha)= 0` )
c) Etudier la concavité de la courbe `C_f` puis donner les abscisses des deux points d'inflexions
6) Construire la coure `C_f ` on donne `ln4 =1, 4 ` , `alpha =-4.5 ` et `f(alpha)= -3.5 `
7)a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1)` définie sur `R`
b) Calculer `(f^(-1))'(ln4) `
8 ) soit `(u_n)` la suite définie par `u_0 =1 ` et `forall n in N : u_(n+1)=f(u_n) ` pour tout ` n in N `
a) Montrer par récurrence `0 < u_n < ln4` pour tout ` n in N `
b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante
c) Montrer que la suite `(u_n)` est convergente
d) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `
Exercice 2 BAC 2022
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u) , vec(v))` on considère le point `A ` d'affixe `a=-1-isqrt(3) ` et `B` le point d'affixe ` b = -1 +isqrt(3) ` et `t` la translation de vecteur `vec(OA)`
1) Prouver que l'affixe du point `D` image du point `B ` par la translation `t ` est `d= 2 `
2) On considère la rotation `R ` de centre `D` et d'angle `(2pi)/3 `
Montrer que l'affixe du point `C ` image du point `B` par la rotation `R ` est `c= -4 `
3a) Ecrire le nombre complexe `(b-c)/(a-c) ` sous sa forme trigonométrique
b) En déduire que `((b-c)/(a-c))^2 = (c-d)/(b-d)`
4) Soit `Gamma ` le cercle de centre `(D) ` et de rayon `R=2` , `Gamma'` le cercle de centre `O` et de rayon `R= 4` et `M(z)` un point d'affixe `z` appartenant aux deux cercles `Gamma ` et `Gamma' `
a) Vérifier que `abs(z+2)=2`
b) Prouver que `z+bar(z)= -8` remarque que `abs(z)= 4`
c) En déduire que les de eux cercles `Gamma ` et `Gamma' ` se coupent en un unique point à déterminer
Exercice 1 BAC 2022
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O ,vec(i) , vec(j) ,vec(k))` on considère les points `A(0,1,1) ` , `B(1,2,0) ` , `C(-1,1,2)`
1)a) Montrer que
b) En déduire que `x+z-1 = 0` est une équation cartésienne du plan `(ABC) `
2) Soit `S` la sphère de centre `Omega(1,1,2) ` et de rayon `R = sqrt(2) `
Déterminer une équation cartésienne de la sphère `S`
3) Montrer que le plan `(ABC)` est tangent à la sphère `S ` au point `A`
4) On considère la droite `(Delta) ` passant par `C` et perpendiculaire au plan `(ABC) `
a) Déterminer un e représentation paramétrique de `(Delta) `
b) Montrer que la droite `(Delta) ` est tangent à la sphère `(S) ` en un point `(D) ` dont on déterminera les coordonnées
c) Calculer le produit scalaire `vec(AC).( vec(i) +vec(k)) ` , puis en déduire la distance `d(A, (Delta)) `
Exercice 4 ) : BAC 2022
On considère la fonction `h` définie sur `R` par `h(x)=(x+1)e^x`
1) a) Vérifier que ` x-> xe^x ` est une primitive de la fonction `h` sur `R`, puis calculer `int_(-1)^0 h(x) dx `
b) a l'aide d'une intégration par parties calculer `J = int_(-1)^0(x+1)^2e^x dx `
2a) Résoudre l'équation différentielle `(E) : y'' -2y' +y = 0 `
b) Montrer que la fonction `h` est la solution de l'équation `(E) ` qui vérifie `h(0)= 1` et `h'(0)= 2`
Exercice 3 : BAC -2022
Une urne contient `10` boules :
- `3` boules blanches
- `3` boules vertes
- `4` boules rouges
On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne
1) Montrer que `P(A)= 1/6 ` ; ou `A : text{ est l'événement n'obtenir aucun boule rouge }`
2) Calculer `P(B) : ` ou `B : text{ est l'événement obtenir 3 boules blanches ou 3 boules vertes }`
3) Montrer que `P(C)= 1/2` ; ou `C : text{ est l'événement obtenir exactement une boule rouge }`
4) Calculer `P(D) : ` ou `D : text{ est l'événement obtenir au moins 2 deux boules rouges }`
On dispose de deux urnes :
- ` U1 ` contient 4 jetons blancs et 3 noirs
- `U2 ` contient 17 jetons blancs et 18 noirs.
1. On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d'apparaître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l'urne U1 sinon on tire un jeton de l'urne U2 .
a. Déterminer la probabilité de tirer un jeton blanc (on considérera les événements A : "On a obtenu 6 en
jetant le dé" et B : "On obtient un jeton blanc".)
b. On a tiré un jeton blanc ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de U1.
c. On a tiré un jeton noir ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de U2.
2. On tire successivement et sans remise les 7 jetons de l'urne U1.
X est la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage.
Donner la loi de probabilité de X, puis calculer son espérance mathématique et son écart-type.
Préparation aux concours
Calcul de la note du BAC
Exemple de note 12.89
Note du Régional :
Note Semetre 1 :
Note Semetre 2 :
Je veux réussir le bac avec :
Je dois avoir au national :
Note du Régional :
Note Semetre 1 :
Note Semetre 2 :
Je veux réussir le bac avec :
Je dois avoir au national :